FC2ブログ

Welcome to my blog

[答1473] 三角形の回転

ヤドカリ

ヤドカリ

P2110920.jpg



[答1473] 三角形の回転


 BC+CA+AB=L である△ABCの辺BCを回転軸とする回転体の体積の最大値が 100π/3 のとき、

 定数 L の値は?


[解答]

 Aから回転軸BCにおろした垂線をAHとし、

 Hが線分BCの Bに近い延長上にあるとき BH<0 , Cに近い延長上にあるとき CH<0 と考えると、

 回転体の体積を V とすれば、V=(1/3)πAH2・BH+(1/3)πAH2・CH=(1/3)πAH2・BC です。

 よって、BCを固定すると体積が最大になるのは、AHが最大のときです。
1473-三角形の回転
 次に、AB+AC=L-BC>BC だから、BC<L/2 です。

 BC<L/2 であるように、BCが決まれば、Aは B,Cが焦点で 長軸が L-BC である楕円上にあります。

 よって、AHの最大値はその短軸の長さで、そのとき、AH2=(L/2-BC/2)2-(BC/2)2=(L/2)(L/2-BC) 、

 V=(1/3)πAH2・BC=(1/3)π(L/2)(L/2-BC)BC です。

 これはBCの2次関数で、BC=L/4 のとき最大になり、V=(1/3)π(L/2)(L/4)2 です。

 よって、(1/3)π(L/2)(L/4)2=100π/3 、(L/2)(L/4)2=100 、L3=3200=43・50 、

 L=4・3√50=14.7361…… です。

.
スポンサーサイト



Comments 0

There are no comments yet.