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[答1474] 正十二角形の対角線でできる三角形の面積

ヤドカリ

ヤドカリ

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[答1474] 正十二角形の対角線でできる三角形の面積


 正十二角形の対角線 AB,CD,AD が 図のようにあり、AB,CDの交点を O とします。
1473-正十二角形0
 AB=14 のときの △OADの面積は?


[解答1]

 正十二角形の外接円を考えれば、1辺に対する円周角は 15゚ なので、

 ∠ABD=60゚ ,∠CDB=30゚ ,∠BOD=90゚ ,∠ADC=15゚ ですので、

 OA=ODtan15゚=OD(2-√3) 、OB=ODtan30゚=OD/√3 です。

 AB=OA+OB=OD(2-√3)+OD/√3=OD(2-2/√3) だから、

 OD=AB/(2-2/√3)=AB(√3)/(2√3-2)=AB(√3)(√3+1)/{(2(√3-1)(√3+1)}=AB(√3)(√3+1)/4 、

 △OAD=OA・OD/2=OD2(2-√3)/2=AB2(√3)2(√3+1)2(2-√3)/32=3AB2(4+2√3)(2-√3)/32

  =3AB2(4+2√3)(2-√3)/32=3AB2/16=3・142/16=147/4 です。


[解答2]

 正十二角形の外接円を考えれば、1辺に対する円周角は 15゚ なので、∠A=75゚ ,∠ADC=15゚ です。

 AからBDへおろした垂線を AH とすれば、∠ABD=60゚ ,∠ADB=45゚ より、

 BH=AB/2 ,AH=HD=(AB√3)/2 ,AD=(AB√6)/2 で、AD2=3AB2/2 です。

 AO=ADsin15゚ ,DO=ADcos15゚ なので、

 △OAD=(1/2)AO・DO=(1/2)AD2sin15゚cos15゚=(1/4)AD2sin30゚=(1/8)(3AB2/2)=3AB2/16

  =3(AB/4)2=3・(14/4)2=147/4 です。


[解答3]

 正十二角形の外接円を考えれば、1辺に対する円周角は 15゚ なので、

 ∠ABC=∠ADC=15゚ ,∠BAC=30゚ ,∠ACD=60゚ で、OA=OC√3 です。

 ∠OCP=60゚ になるようにOB上に点Pをとれば、OP=OC√3 ,PB=PC=2OC ですので、

 OB=OP+PB=(√3+2)OC ,AB=OA+OB=(2√3+2)OC になり、(2√3+2)OC=14 、

 (√3+1)OC=7 、2乗して (4+2√3)OC2=49 です。

 次に、△OBC∽△ODA で、相似比は OC:OA=1:√3 だから、

 △ODA=3△OBC=3OB・OC/2=3(√3+2)OC2/2=3(2√3+4)OC2/4=3・49/4=147/4 です。


[解答4] 算数にこだわって

1474-正十二角形
 図のように、BPを斜辺とする直角二等辺三角形ABPを描けば、△ABP=142/2=98 です。

 BPを底辺とすれば、△BDPは△ABPと比べて 高さが 1/2 だから、△BDP=△ABP/2=98/2=49 です。

 次に、CとBの間の頂点をQとし、正三角形ARDを描き、ARとDQの交点をSとすれば、

 △QBD≡△PDB だから、△QBD=△PDB=49 です。

 また、四角形AOSD∽四角形QBRD で、△ASD∽△QRD ,△OAD∽△BQD の相似比が一致します。

 △ASD=3△QRS=3△QRD/4 だから △OAD=3△BQD/4 になり、△OAD=3・49/4=147/4 です。

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Comments 3

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スモークマン  
グーテンモルゲン ^^

14は正方形の1辺
so...半径r
14^2=2r^2
r=7√2
so...ADは正三角形の1辺なので、7√6・・・ここが、算数かどうか?
求める△の2倍は頂角30°なので、
(7√6)^2/2*(1/2)^2
=147/4
として求められることに気づきました ^^

スモークマン  
グーテンターク ^^


追記
「AB垂直CD」
も言えるので...Orz

ヤドカリ
ヤドカリ  
Re: グーテンモルゲン ^^

スモークマンさん、コメントを有難うございます。
単純な問題ですので、解き方はいろいろあると思います。
[解答4]の算数解法ですが、√を使わず、
少し迂遠な解き方になりました。
算数解法としては、r=7√2 でアウトだと思います。