[答1474] 正十二角形の対角線でできる三角形の面積

[答1474] 正十二角形の対角線でできる三角形の面積


　正十二角形の対角線 AB，CD，AD が 図のようにあり、AB，CDの交点を O とします。

　AB＝14 のときの △OADの面積は？


[解答1]

　正十二角形の外接円を考えれば、１辺に対する円周角は 15ﾟ なので、

　∠ABD＝60ﾟ ，∠CDB＝30ﾟ ，∠BOD＝90ﾟ ，∠ADC＝15ﾟ ですので、

　OA＝ODtan15ﾟ＝OD(2－√3) 、OB＝ODtan30ﾟ＝OD/√3 です。

　AB＝OA＋OB＝OD(2－√3)＋OD/√3＝OD(2－2/√3) だから、

　OD＝AB/(2－2/√3)＝AB(√3)/(2√3－2)＝AB(√3)(√3＋1)/{(2(√3－1)(√3＋1)}＝AB(√3)(√3＋1)/4 、

　△OAD＝OA･OD/2＝OD²(2－√3)/2＝AB²(√3)²(√3＋1)²(2－√3)/32＝3AB²(4＋2√3)(2－√3)/32

　 ＝3AB²(4＋2√3)(2－√3)/32＝3AB²/16＝3･14²/16＝147/4 です。


[解答2]

　正十二角形の外接円を考えれば、１辺に対する円周角は 15ﾟ なので、∠A＝75ﾟ ，∠ADC＝15ﾟ です。

　AからBDへおろした垂線を AH とすれば、∠ABD＝60ﾟ ，∠ADB＝45ﾟ より、

　BH＝AB/2 ，AH＝HD＝(AB√3)/2 ，AD＝(AB√6)/2 で、AD²＝3AB²/2 です。

　AO＝ADsin15ﾟ ，DO＝ADcos15ﾟ なので、

　△OAD＝(1/2)AO･DO＝(1/2)AD²sin15ﾟcos15ﾟ＝(1/4)AD²sin30ﾟ＝(1/8)(3AB²/2)＝3AB²/16

　 ＝3(AB/4)²＝3･(14/4)²＝147/4 です。


[解答3]

　正十二角形の外接円を考えれば、１辺に対する円周角は 15ﾟ なので、

　∠ABC＝∠ADC＝15ﾟ ，∠BAC＝30ﾟ ，∠ACD＝60ﾟ で、OA＝OC√3 です。

　∠OCP＝60ﾟ になるようにOB上に点Pをとれば、OP＝OC√3 ，PB＝PC＝2OC ですので、

　OB＝OP＋PB＝(√3＋2)OC ，AB＝OA＋OB＝(2√3＋2)OC になり、(2√3＋2)OC＝14 、

　(√3＋1)OC＝7 、２乗して (4＋2√3)OC²＝49 です。

　次に、△OBC∽△ODA で、相似比は OC：OA＝1：√3 だから、

　△ODA＝3△OBC＝3OB･OC/2＝3(√3＋2)OC²/2＝3(2√3＋4)OC²/4＝3･49/4＝147/4 です。


[解答4] 算数にこだわって


　図のように、BPを斜辺とする直角二等辺三角形ABPを描けば、△ABP＝14²/2＝98 です。

　BPを底辺とすれば、△BDPは△ABPと比べて 高さが 1/2 だから、△BDP＝△ABP/2＝98/2＝49 です。

　次に、CとBの間の頂点をQとし、正三角形ARDを描き、ARとDQの交点をSとすれば、

　△QBD≡△PDB だから、△QBD＝△PDB＝49 です。

　また、四角形AOSD∽四角形QBRD で、△ASD∽△QRD ，△OAD∽△BQD の相似比が一致します。

　△ASD＝3△QRS＝3△QRD/4 だから △OAD＝3△BQD/4 になり、△OAD＝3･49/4＝147/4 です。

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