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[答1475] 重解をもつ3次方程式

ヤドカリ

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[答1475] 重解をもつ3次方程式


 x3+30x2+(-105k+447)x+(420k+412)=0 が重解をもつときのkの値は? そのときの解は?


[解答1]

 f(x)=x3+30x2+(-105k+447)x+(420k+412) とおけば、

 f'(x)=3x2+60x+(-105k+447)=3(x2+20x-35k+149) 、

 f(x)=(x2+20x-35k+149)(x+10)+(-70k+98)x+(770k-1078)

  =(x/3+10/3)f'(x)-14(5k-7)(x-11)

 a が重解であれば f(a)=f'(a)=0 だから、(5k-7)(a-11)=0 、k=7/5 または a=11 です。

 a=11 のとき f'(11)=3(121+220-35k+149)=0 、k=14 で、

 f(x)=x3+30x2-1023x+6292=(x-11)2(x+52) だから、x=11(重解),-52 、

 k=7/5 のとき f(x)=x3+30x2+300x+1000=(x+10)3 だから、x=-10(3重解) です。

 まとめて、k=14 のとき x=11(重解),-52 、k=7/5 のとき x=-10(3重解) です。


[解答2]

 x3+30x2+(-105k+447)x+(420k+412)=0 より、

 x3+30x2+300x+1000+(-105k+447-300)x+(420k+412-1000)=0 、

 (x+10)3+(-105k+147)x+(420k-588)=0 、

 (x+10)3+(-105k+147)(x+10)-10(-105k+147)+(420k-588)=0 、

 x+10=X とおけば、X3+(-105k+147)X+(1470k-2058)=0 、X3-21(5k-7)X+294(5k-7)=0 、

 X=p,p,q とおけば解と係数の関係により、

 2p+q=0 ,p2+2pq=-21(5k-7) ,p2q=-294(5k-7) 、

 q=-2p を代入して、-3p2=-21(5k-7) ,-2p3=-294(5k-7) 、p2=7(5k-7) ,p3=147(5k-7) 、

 よって、k=7/5 のとき p=0 ,k≠7/5 のとき p=21 であり、

 解は、x+10=X=p,q=p,-2p だから、x=p-10(重解),-2p-10 です。

 また、k≠7/5 のとき p=21 だから、212=7(5k-7) 、k=14 です。

 まとめて、k=14 のとき x=11(重解),-52 、k=7/5 のとき x=-10(3重解) です。

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Comments 2

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スモークマン  
グーテンターク ^^

[解答1]はよぎりましたが、面倒そうに思えてスルーしてました...^^;
一応別解をば Orz
友人からのもの...
(x-a)(x-b)^2 として係数比較すると
a+2b=-30    (1)
b^2+2ab=-105k+447   (2)
ab^2^2=420k+412  (3)
a,kを消去すると
b^3+9b^2-120b-1100=0
因数分解できて (b+10)^2(b-11)=0
b=-10 のとき a=-10 でk=7/5
b=11 のときa=-52 でk=14
よってk=7/5のときx=-10 3重解
k=14のときx=11 (2重解) x=-52

*解答を見て解と係数を使って今になって気づけた最初考えてたアプローチ...^^;

変曲点のx座標=-10
重根がその前後で場合分けして...
・重根xが-10以上のとき...
x^2*(-2x-30)=-420k-412
x^2-2x(2x+30)=-105k+447
より、
k=7/5,x=-10(3重根)
k=14,x=11(重根),-52
・重根が-10以下のとき...
x^2(-2x-30)=-420k-412
x^2-2x(2x+30)=-105k+447
と同じ式になるので以下同様...
ま、計算はPCになりますが ^^;

ヤドカリ
ヤドカリ  
Re: グーテンターク ^^

スモークマンさん、コメントを有難うございます。
係数比較は、解と係数の関係と同じことですので、
この解答は書きませんでした。
計算を楽にするのに、解の和か0になるよう
変換をしたのが[解答2]です。
変曲点については計算の能率を上げることになりませんので、
本問では意識する必要はないと思います。