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[答1476] 円に内接する四角形

ヤドカリ

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[答1476] 円に内接する四角形


 AB=AD>BC ,BC<CD で、円に内接する四角形ABCDがあります。
1476-内接四角形0
 CP=CB となる点Pが 辺CD上にあって、∠PAD:∠D=32:9 になるとき、∠B=?

 さらに、ABがこの円に内接する正m角形の辺の長さと等しく、

 BCがこの円に内接する正n角形の辺の長さと等しいとき、(m,n)=?

 図は正確ではありません。


[解答]

 ∠PAD=32θ ,∠D=9θ とします。
1476-内接四角形
 長さの等しい弧に対する円周角は等しいので、∠ACB=∠ACD 、△ACB≡△ACP 、

 AB=AP ,∠ABC=∠APC になり、AD=AP 、∠APD=∠ADP=9θ 、∠APC=∠D+∠PAD=41θ です。

 ∠APD+∠APC=50θ=180゚ だから、θ=3.6゚ 、∠ABC=∠APC=41θ=147.6゚ です。

 次に、∠ACP+∠CAP=∠APD=9θ 、∠ACB+∠CAB=9θ になり、

 180゚/∠ACB=m ,180゚/∠CAB=n だから、∠ACB=180゚/m=50θ/m ,∠CAB=180゚/n=50θ/n 、

 50θ/m+50θ/n=9θ 、50n+50m=9mn 、81mn-450m-450n=0 、(9m-50)(9n-50)=2500 です。

 9m-50<0 ,9n-50<0 のときは |9m-50|<50,|9n-50|<50 になり 成り立ちませんので、

 9m-50,9n-50 は 2500の正の約数です。

 2500の正の約数は 1,2,4,5,10,20,25,50,100,125,250,500,625,1250,2500 で、

 9m-50≡4,9n-50≡4 (mod 9) ,m<n なので、(9m-50,9n-50)=(4,625) 、  

 (9m,9n)=(54,675) 、(m,n)=(6,75) です。

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