[答1476] 円に内接する四角形

[答1476] 円に内接する四角形


　AB＝AD＞BC ，BC＜CD で、円に内接する四角形ABCDがあります。

　CP＝CB となる点Pが 辺CD上にあって、∠PAD：∠D＝32：9 になるとき、∠B＝？

　さらに、ABがこの円に内接する正ｍ角形の辺の長さと等しく、

　BCがこの円に内接する正ｎ角形の辺の長さと等しいとき、(m，n)＝？

　図は正確ではありません。


[解答]

　∠PAD＝32θ ，∠D＝9θ とします。

　長さの等しい弧に対する円周角は等しいので、∠ACB＝∠ACD 、△ACB≡△ACP 、

　AB＝AP ，∠ABC＝∠APC になり、AD＝AP 、∠APD＝∠ADP＝9θ 、∠APC＝∠D＋∠PAD＝41θ です。

　∠APD＋∠APC＝50θ＝180ﾟ だから、θ＝3．6ﾟ 、∠ABC＝∠APC＝41θ＝147．6ﾟ です。

　次に、∠ACP＋∠CAP＝∠APD＝9θ 、∠ACB＋∠CAB＝9θ になり、

　180ﾟ/∠ACB＝m ，180ﾟ/∠CAB＝n だから、∠ACB＝180ﾟ/m＝50θ/m ，∠CAB＝180ﾟ/n＝50θ/n 、

　50θ/m＋50θ/n＝9θ 、50n＋50m＝9mn 、81mn－450m－450n＝0 、(9m－50)(9n－50)＝2500 です。

　9m－50＜0 ，9n－50＜0 のときは |9m－50|＜50，|9n－50|＜50 になり 成り立ちませんので、

　9m－50，9n－50 は 2500の正の約数です。

　2500の正の約数は 1，2，4，5，10，20，25，50，100，125，250，500，625，1250，2500 で、

　9m－50≡4，9n－50≡4 (mod 9) ，m＜n なので、(9m－50，9n－50)＝(4，625) 、 　

　(9m，9n)＝(54，675) 、(m，n)＝(6，75) です。

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