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[答1477] 漸化式で表された数列

ヤドカリ

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[答1477] 漸化式で表された数列


 an+2=14+an+1-an (n=1,2,3,……) で表され すべての項が自然数である数列{an}において、

 a1/10+a2/102+a3/103+a4/104+……=173/117 のとき、(a1,a2,a3)=?


[解答1]

 an+3=14+an+2-an+1=14+(14+an+1-an)-an+1=28-an

 an+6=28-an+3=28-(28-an)=an です。

 a1/10+a2/102+a3/103+a4/104+a5/105+a6/106+a7/107+a8/108+……=173/117 、

 105a1+104a2+103a3+102a4+10a5+a6+a7/10+a8/102+……=106・173/117 、

 差をとって、105a1+104a2+103a3+102a4+10a5+a6=(106-1)・173/117 、

 105a1+104a2+103a3+102(28-a1)+10(28-a2)+(28-a3)=999999・173/117 、

 99900a1+9990a2+999a3+28・111=999999・173/117 、100a1+10a2+a3=1001・173/117-28/9=1477 、

 a1=a ,a2=b とおけば、a3=14-a+b だから、

 100a+10b+14-a+b=1477 、99a+11b=1463 、b=133-9a となって、

 a1=a ,a2=133-9a ,a3=147-10a 、

 a1 ,a2 ,a3 が 27以下の自然数だから、a=12,13,14 、

 (a1,a2,a3)=(12,25,27),(13,16,17),(14,7,7) です。


[解答2]

 an+3=14+an+2-an+1=14+(14+an+1-an)-an+1=28-an 、an+6=28-an+3=28-(28-an)=an で、

 173/117=1.478632478632478632……=1478631(1/106+1/106+1/106+……) と比べれば、

 105a1+104a2+103a3+102a4+10a5+a6=1478631 、

 105a1+104a2+103a3+102(28-a1)+10(28-a2)+(28-a3)=1478631 、

 99900a1+9990a2+999a3+3108=1478631 、100a1+10a2+a3=1477 、

 a3 が 27以下の自然数だから、a3=7,17,27 、(10a1+a2,a3)=(147,7),(146,17),(145,27) 、

 a3=14+a2-a1 より a1-a2=14-a3 、 (a1,a2,a3)=(14,7,7),(13,16,17),(12,25,27) です。


[解答3]

 an+3=14+an+2-an+1=14+(14+an+1-an)-an+1=28-an 、an+3+an=28 です。

 a1/10+a2/102+a3/103+a4/104+……=173/117 より、

 100a1+10a2+a3+a4/10+a5/102+a6/103+a7/104+……=173000/117 、

 辺々加えて、100a1+10a2+a3+28・1/9=173173/117 、100a1+10a2+a3=1477 、

 a3 が 27以下の自然数だから、a3=7,17,27 、(10a1+a2,a3)=(147,7),(146,17),(145,27) 、

 a3=14+a2-a1 より a1-a2=14-a3 、 (a1,a2,a3)=(14,7,7),(13,16,17),(12,25,27) です。

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