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[答1478] 余弦の値

ヤドカリ

ヤドカリ

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[答1478] 余弦の値


 0゚<β<α<90゚ ,2α+β=180゚ ,cos(α-β)=11/16 のとき、(cosα,cosβ)=?


[解答1]

 -β=2α-180゚ ,cos(α-β)=11/16 より、

 cos(3α-180゚)=11/16 、-cos3α=11/16 、3cosα-4cos3α=11/16 、48cosα-64cos3α=11 、

 4cosα=x とおけば、12x-x3=11 、x3-12x+11=0 、(x-1)(x2+x-11)=0 、

 x>0 より、x=1 ,(-1+3√5)/2 です。

 cosβ=cos(-β)=cos(2α-180゚)=-cos2α=1-2cos2α=1-2(x/4)2=1-x2/8 になり、

 x=1 のとき、(cosα,cosβ)=(1/4,7/8) です。

 x=(-1+3√5)/2 のとき、x2+x-11=0 、x-11=-x2

 8cosβ=8-x2=8+x-11=x-3=(-1+3√5)/2-3=(-7+√45)/2<0 で適しません。

 よって、(cosα,cosβ)=(1/4,7/8) です。


[解答2]

 図のように、底角がαで頂角がβである △ABC,△DAB で、AB=AC=1 ,BC=x とすれば、

 △ABC∽△DAB より、AB:DA=BC:AB 、1:DA=x:1 、DA=1/x 、DA=DB=1/x です。

 次に、CからADにおろした垂線をCHとすれば、AH=cos(α-β)=11/16 です。

 CH2=DC2-DH2=AC2-AH2 だから、(DC-DH)(DC+DH)=AC2-AH2

 (1/x-x-1/x+11/16)(1/x-x+1/x-11/16)=1-(11/16)2

 (-x+11/16)(2/x-x-11/16)-1+(11/16)2=0 、

 2(-x+11/16)/x+(-x+11/16)(-x-11/16)-1+(11/16)2=0 、

 -2+11/(8x)+x2-(11/16)2-1+(11/16)2=0 、

 x2-3+11/(8x)=0 、8x3-24x+11=0 、(2x-1)(4x2+2x-11)=0 、

 x>0 より、x=1/2 ,(-1+√45)/4 です。

 cosα=x/2 で、cosβ=(AB2+AC2-BC2)/(2・AB・AC)=(2-x2)/2 になり、

 x=1/2 のとき、(cosα,cosβ)=(1/4,7/8) です。

 x=(-1+√45)/4 のとき、x2=(23-√45)/8>(23-7)/8=2 、cosβ<0 で適しません。

 よって、(cosα,cosβ)=(1/4,7/8) です。

1478-参考図

[解答3] sbr*d4*5さんのコメントに加筆

 図のように、∠APC=∠ACP=α, ∠PAC=β である △APCにおいて、PCの中点を Hとします。

 また、CPの延長上に ∠PAB=β である点Bをとれば、△ABCにおいて APは∠BACの二等分線です。

 ∠ABH=α-β ,cos(α-β)=11/16 だから AB=16,BH=11,PH=HC=x,AP=AC=y とすると

 BP=11-x で、AP2=PH2+AH2=PH2+AB2-BH2 、y2=x2+162-112 、y2=x2+135 ……(1)

 角の二等分線の性質より AB:AC=BP:PC 、16:y=(11-x):2x 、y(11-x)=32x ……(2)

 y2(11-x)2=1024x2 に (1)式を代入して、(x2+135)(11-x)2=1024x2

 (x2+135)(x2-22x+121)-1024x2=0 、x4-22x3-768x2-135・22x+135・121=0 、

 (x-3)(x+11)(x2-30x-495)=0 、0<x<11 だから x=3 、(2)式より 8y=32・3 、y=12 です。

 cosα=x/y=1/4 、cosβ={y2+y2-(2x)2}/(2y2)=1-2(x/y)2=7/8 と なりました。

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