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[答1479] 放物線と正三角形

ヤドカリ

ヤドカリ

P2210079.jpg



[答1479] 放物線と正三角形


 図のように、放物線 y=x2 上に頂点をもつ正三角形PQRがあります。
1479-放物線と正三角形
 PQの傾きが 2/√3 であるとき、正三角形PQRの1辺の長さは?


[解答1]

 P(0,0) になるように平行移動し、Qの座標を(q,2q/√3) ,放物線を y=x2-kx (k>0)とします。

 2q/√3=q2-kq 、q≠0 だから、q=2/√3+k になり、Q(2/√3+k,4/3+2k/√3) です。

 {(2/√3+k)+i(4/3+2k/√3)}(cos60゚+i・sin60゚)={(2/√3+k)+i(4/3+2k/√3)}(1+i√3)/2

  ={(2/√3+k)-(4/3+2k/√3)√3}/2+i・{(4/3+2k/√3)+(2/√3+k)√3}/2

  =(-2/√3-k)/2+i・(10/3+5k/√3)/2 だから、

 R((-2/√3-k)/2,(10/3+5k/√3)/2) になり、y=x2-kx 上にあるから、

 (10/3+5k/√3)/2=(4/3+4k/√3+k2)/4+(2k/√3+k2)/2 、

 20/3+10k/√3=4/3+4k/√3+k2+4k/√3+2k2 、3k2-2k/√3-16/3=0 、

 9k2-2k√3-16=0 、(3k√3-8)(k√3+2)=0 、

 k>0 だから、k=8/(3√3) になり、q=2/√3+k=2/√3+8/(3√3)=14/(3√3) です。

 PQ2=7q2/3 より PQ=(√7)q/√3=(√7)14/(3√3)/√3=(14√7)/9 です。


[解答2]

 PQとx軸のなす角をθとすれば、tanθ=2/√3 です。

 tan(θ+60゚)=(tanθ+tan60゚)/(1-tanθtan60゚)=(2/√3+√3)/(1-2)=-5/√3 ,

 tan(θ-60゚)=(tanθ-tan60゚)/(1+tanθtan60゚)=(2/√3-√3)/(1+2)=-1/(3√3) ですので、

 PRの傾きは -5/√3 ,QRの傾きは -1/(3√3) です。

 正三角形PQRの1辺の長さをLとし、P(p,p2),Q(q,q2),R(r,r2) とすれば、

 PQの傾きは (q2-p2)/(q-p)=p+q 、同様に PRの傾きは p+r ,QRの傾きは q+r で、

 p+r=-5/√3 ,q+r=-1/(3√3) よって、q-p=14/(3√3) です。

 PQの傾きが 2/√3 だから、PQ=(q-p)√{1+(2/√3)2}={14/(3√3)}{√(7/3)}=(14√7)/9 です。

 なお、p+q=2/√3 ,p+r=-5/√3 ,q+r=-1/(3√3) より、

 p=-4/(3√3) ,q=10/(3√3) ,r=-11/(3√3) 、

 P(-4/(3√3),16/27),Q(10/(3√3),100/27),R(-11/(3√3),121/27) です。


★ PQの傾きがmであるとき、1辺は {(2√3)(m2+1)√(m2+1)}/(3m2-1) です。

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Comments 7

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スモークマン  
グーテンターク ^^

教えてください Orz...

>tan(θ-60゚)=(tanθ-tan60゚)/(1+tanθtan60゚)=(2/√3-√3)/(1+2)=-1/(3√3) ですので、
>QRの傾きは -1/(3√3) です。

のところがよくわかりません...
Q,Rが共に同じ側(xが正)になるような正三角形は存在できないのでしょうか ^^;...?

たけちゃん  

スモークマンさんのコメントについて,
僭越ですが,私なりの考えをコメントをさせていただきます.

tanθ=2/√3であれば,加法定理から,
tan(θ+60°)=-5/√3,tan(θ-60°)=-1/(3√3)
となることがわかりますね.
このことから,PQの傾きが2/√3であるとき,
2直線PR,QRの傾きは,(順不同で)-5/√3と-1/(3√3)です.

[1] 問題文の「図のように」の解釈によるかもしれませんが,
「図から|(QRの傾き)|<|(PRの傾き)|」と考えてもよいと思います.
そう捉えれば,PRの傾きが-5/√3,QRの傾きが-1/(3√3)となります.

[2] 正三角形の一辺の長さについては,PとQを入れ換えても影響はないので,
解答の文章を,「PRの傾きが-5/√3,QRの傾きが-1/(3√3)となるように
P,Qの割り振りを定めても結論に影響はない」と読むことも可能だと思います.

なお,問題文を,「PとQが(どちらがどちらであるか)定まらない」と読んだ場合,
P,Qの割り振りを定めずに解答を進めると,p,qの値として2組
(ただし,pとqを入れ換えただけのものですが)を求めることになって,
記述するのは少しめんどうな感じになりそうです.

ヤドカリ
ヤドカリ  
Re: グーテンターク ^^

スモークマンさん、コメントを有難うございます。
[解答2]にありますように、
3辺の傾きが 2/√3 ,-5/√3 ,-1/(3√3) になり、
3つの頂点のx座標が -4/(3√3) ,10/(3√3) ,-11/(3√3) になります。
どの頂点を P,Q,R としても辺の長さは結局同じことになりますので、
解答を書きやすいように、「図のように」ということで P,Q,R を限定しました。

ヤドカリ
ヤドカリ  
Re: タイトルなし

たけちゃんさん、詳しい説明を有難うございます。
仰る通りです。題意を汲み取って頂いての説明と思います。
上記のように、どの頂点を P,Q,R としても辺の長さは同じですので、
無頓着に「図のように」と書きました。

スモークマン  
御礼 ^^

たけちゃん様、ヤドカリ様
ご返事いただきありがとうございました。
そもそも、QRの傾きがなぜそうなるのかがすぐピンとこなかったことからですが...
tan(θ+120°)=tan(180°-(θ+120°))=-tan(60°-θ)=tan(θ-60°)
と、やっと納得できました ^^;

本来の疑問は...
Pがx軸の左側にあってもいいのですが、
Pが図よりもずっと上にある時、tan((θ+δ)=tan60° となるようなRが右下に、Qはそのずっと上にあるようなケースはないのかなぁと思ったもので...
but...
tan(θ+δ)=(2/√3+tanδ)/(1-2tanδ/√3)=√3
tanδ=√3/9...実際の傾きは-1/(3√3) となるので...
与えられた図のRにPQをPをRに平行移動したものになり、明らかにPQでは、右側に届かなくなることに気づきました...^^;
so...左右対称を除くと)1個だけに決まることに気づけました^^;;...Orz〜

お騒がせいたしました〜m(_ _)m〜

ヤドカリ
ヤドカリ  
Re: 御礼 ^^

スモークマンさん、コメントを有難うございます。
「左右対称を除くと」と書かれていますが、
左右対称にすると傾きの符号が変わりますので、題意に合わなくなります。

スモークマン  
そうでしたね...^^;

合同でない、より大きなものがありそうに一瞬思ったのですが、PQの傾きが決まったら、正三角形は一意に決まるということがわたしの中では驚きでした♪