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[答1480] 四面体の表面積と体積

ヤドカリ

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[答1480] 四面体の表面積と体積


 AC=AD ,BC=BD ,AB=40 ,CD=17√2 ,∠BAC+∠CAD+∠DAB=90゚,∠ABC+∠ABD-∠CBD=90゚

 である四面体ABCDの表面積Sは? また、体積Vは?
1480-四面体の表面積0


[解答]

 △ABC≡△ABD ,AB=40 ,∠BAC+∠CAD+∠DAB=90゚ ですので、

 1辺が40の正方形に △ABC,△ACD,△ADB を置けば、

 二等辺三角形BDCの頂点Bはこの正方形の対角線上にあります。
1480-四面体の表面積
 Bをこの正方形の頂点であれば、∠ABC+∠ABD-∠CBD=90゚ は成り立ち、

 展開図は 右図のように、1辺が40の正方形から2個の二等辺三角形を除いたものになります。

 CDがこれより正方形の中心に近ければ、∠ABC=∠ABD ,BC=BD が小さくなって ∠CBD は大きくなり、

 CDがこれより正方形の中心から遠ければ、∠ABC=∠ABD ,BC=BD が大きくなって ∠CBD は小さくなり、

 いずれも、∠ABC+∠ABD-∠CBD≠90゚ であるからです。

 二等辺三角形の底辺は40,高さは 20-17=3 だから、

 この展開図の面積は、S=402-2(40・3/2)=1480 です。

 次に、CDの中点をMとし、MからABに下ろした垂線をMHとします。

 四面体ABCDは 底面が △ABM で 高さが CD/2 の三角錐2個分ですので、

 V=2(△ABM・CD/2)/3=2△ABM・CD/6=AB・MH・CD/6 です。

 AB=40 で、AM=20√2+17/√2=57/√2 ,BM=20√2-17/√2=23/√2 、

 MH2=BM2-BH2=AM2-AH2 、AH2-BH2=AM2-BM2 、(AH+BH)(AH-BH)=(AM+BM)(AM-BM) 、

 AH+BH=AB=40 だから、40(AH-BH)=(80/√2)(34/√2) 、AH-BH=34 になり、

 AH+BH=40 ,AH-BH=34 より AH=37 ,BH=3 ですので、MH2=BM2-BH2=529/2-9=511/2 、

 MH=√511/√2 、V=AB・MH・CD/6=40(√511/√2)(17√2)/6=(340/3)√511 です。

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