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[答1481] じゃんけんで勝者が決まる確率

ヤドカリ

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[答1481] じゃんけんで勝者が決まる確率


 どの人も 何回目のじゃんけんでも グー・チョキ・パー を 1/3 ずつの確率で出すものとして、

 4人がじゃんけんをするとき、1回目のじゃんけんで1人の勝者が決まる確率 P(1) は?

 また、敗者が抜けてじゃんけんを続け、n回目のじゃんけんで1人の勝者が決まる確率 P(n) は?

 nを自然数として、P(n)=[?]・[?]n-1/(2・33n)-([?]n+[?])/(2・3n) で表して下さい。


[解答]

 1回のじゃんけんで1人の勝者が決まるのは、だれが何を出して勝つかで 4・3 通りだから、

 P(1)=4・3/34=4/27=0.1481481…… です。

 同様に、1人の敗者が決まる確率も 4/27 です。

 2人が勝ち 2人が負ける確率は だれとだれが何を出して勝つかで 42・3 通りだから、

 確率は 42・3/34=6/27=2/9 、

 よって、あいこで4人とも残るのは 1-4/27-4/27-6/27=13/27 です。

 まとめると、4人→1人:4/27 ,4人→2人:6/27 ,4人→3人:4/27 ,4人→4人:13/27 です。

 3人が1回のじゃんけんで1人の勝者が決まるのは、だれが何を出して勝つかで 3・3 通りだから、

 確率は 3・3/33=1/3 です。

 同様に、1人の敗者が決まる確率も 1/3 です。

 よって、あいこで3人とも残るのは 1-1/3-1/3=1/3 です。

 まとめると、3人→1人:1/3 ,3人→2人:1/3 ,3人→3人:1/3 です。

 2人が1回のじゃんけんであいこになる確率は 1/3 、よって、1人の勝者が決まる確率は 2/3 です。

 まとめると、2人→1人:2/3 ,2人→2人:1/3 です。

 n回のじゃんけんの後に、4人が残っている確率を S(n) ,3人が残っている確率を R(n) ,

 2人が残っている確率を Q(n) とします。1人の勝者が決まる確率を P(n) だから、

 S(0)=1,R(0)=0,Q(0)=0 であり、S(k+1)=(13/27)S(k) ,R(k+1)=(4/27)S(k)+(1/3)R(k) ,

 Q(k+1)=(2/9)S(k)+(1/3)R(k)+(1/3)Q(k) ,P(k+1)=(4/27)S(k)+(1/3)R(k)+(2/3)Q(k) です。

 S(k+1)=(13/27)S(k) だから、S(n)=(13/27)n です。

 R(k+1)=(4/27)S(k)+(1/3)R(k)=(4/27)(13/27)k+(1/3)R(k) だから、

 3k+1R(k+1)-3kR(k)=(4/9)(13/9)k

 k=0,1,2,……,n-1 として 加えれば、

 3nR(n)=(4/9){(13/9)n-1}/(13/9-1)=(13/9)n-1 、

 R(n)=(13/27)n-1/3n です。

 Q(k+1)=(2/9)S(k)+(1/3)R(k)+(1/3)Q(k)=(2/9)(13/27)k+(1/3){(13/27)k-1/3k}+(1/3)Q(k) だから、

 Q(k+1)-(1/3)Q(k)=(5/9)(13/27)k-1/3k+1

 3k+1Q(k+1)-3kQ(k)=(5/3)(13/9)k-1 、

 k=0,1,2,……,n-1 として 加えれば、

 3nQ(n)=(5/3){(13/9)n-1}/(13/9-1)-n=(15/4)(13/9)n-15/4-n 、

 Q(n)=(15/4)(13/27)n-(15/4)/3n-n/3n です。

 P(n+1)=(4/27)S(n)+(1/3)R(n)+(2/3)Q(n)

  =(4/27)(13/27)n+(1/3){(13/27)n-1/3n}+(2/3){(15/4)(13/27)n-(15/4)/3n-n/3n}

  =(161/54)(13/27)n-(17/6+2n/3)/3n=(161/54)(13/27)n-(17/2+2n)/3n+1

 P(n)=(161/54)(13/27)n-1-(17/2+2n-2)/3n=(161/54)(13/27)n-1-(4n+13)/(2・3n)

  =161・13n-1/(2・33n)-(4n+13)/(2・3n) です。

 なお、n回のじゃんけんで勝者が決まっていない確率を T(n)=S(n)+R(n)+Q(n) とおけば、

 Q(n)=(2/9)S(n-1)+(1/3)R(n-1)+(1/3)Q(n-1) より、3Q(n)=(2/3)S(n-1)+R(n-1)+Q(n-1) 、

 T(n-1)=3Q(n)+(1/3)S(n-1)=3(15/4)(13/27)n-3(15/4)/3n-3n/3n+(1/3)(13/27)n-1

  =(23/4)(13/27)n-1-(15/4)/3n-1-n/3n-1

 T(n)=(23/4)(13/27)n-(15/4)/3n-(n+1)/3n

 P(n)=T(n-1)-T(n)=(27/13-1)(23/4)(13/27)n-(3-1)(15/4)/3n-(3n-n-1)/3n

  =(161/26)(13/27)n-(2n+13/2)/3n=161・13n-1/(2・33n)-(4n+13)/(2・3n) です。

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