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[答1482] 放物線と長方形

ヤドカリ

ヤドカリ

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[答1482] 放物線と長方形


 放物線 y=x2 ,y=-x2+ax+b が2点で交わっていて、
1482-放物線と長方形
 頂点2個と交点2個を頂点とする四角形が長方形で、その面積が 2√1370 であるとき、(a,b)=?


[解答]

 放物線 y=-x2+ax+b の頂点を(c,d)とすれば、y=-(x-c)2+d で、

 y=x2 を (c/2,d/2)に関して対称移動した d-y=(c-x)2 と一致します。

 従って、この四角形は必ず平行四辺形になります。

 交点を P(p,p2),Q(q,q2) とすれば、OP,OQ の傾きは p,q ですので、pq=-1 です。

 2△OPQ=|pq2-p2q|=|pq(q-p)|=|p-q|=2√1370 だから、(p-q)2=5480 、

 (p+q)2=(p-q)2+4pq=5480-4=5476 、p+q=±74 です。

 また、x2=-x2+ax+b とすれば、2x2-ax-b=0 、

 p,q はこの方程式の解だから、解と係数の関係により a/2=p+q=±74 ,-b/2=pq=-1 、

 (a,b)=(±148,2) です。

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