[答137] 循環節が回文数
'
[答137] 循環節が回文数
ある自然数nについて、1/n を小数に直すと純循環小数になり、
循環節は8桁で、00と6桁の回文数が並びました。この自然数nの値は?
( 1/n=0.00abccba 00abccba …… という形になります )
[解答]
0.001<1/n<0.01 だから、逆数をとれば、100<n<1000 です。
また、6桁の回文数は、99999999/n です。
従って、nは 99999999=32・11・101・73・137 の約数になります。
ただし、9999/n が自然数になれば、循環節は4桁,2桁,1桁になってしまいます。
よって、nは 9999=32・11・101 の約数にはなりません。
まとめると、nは、
73 または 137 を素因数にもつ、32・11・101・73・137 の3桁の約数
ということになります。
この条件を満たすnは、73・3=219,73・9=657,73・11=803,137,137・3=411 で、
99999999/n は順に、456621,152207,124533,729927,243309 になりますので、
回文数になるのは、n=137 のときです。
.