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[答137] 循環節が回文数

ヤドカリ

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[答137] 循環節が回文数


 ある自然数nについて、1/n を小数に直すと純循環小数になり、

 循環節は8桁で、00と6桁の回文数が並びました。この自然数nの値は?

 ( 1/n=0.00abccba 00abccba …… という形になります )


[解答]

 0.001<1/n<0.01 だから、逆数をとれば、100<n<1000 です。

 また、6桁の回文数は、99999999/n です。

 従って、nは 99999999=32・11・101・73・137 の約数になります。

 ただし、9999/n が自然数になれば、循環節は4桁,2桁,1桁になってしまいます。

 よって、nは 9999=32・11・101 の約数にはなりません。

 まとめると、nは、

 73 または 137 を素因数にもつ、32・11・101・73・137 の3桁の約数

 ということになります。

 この条件を満たすnは、73・3=219,73・9=657,73・11=803,137,137・3=411 で、

 99999999/n は順に、456621,152207,124533,729927,243309 になりますので、

 回文数になるのは、n=137 のときです。

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Comments 10

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いっちゃん  
No title

もうハイビスカスの花が咲いてるのですか?
きれいですね。。土が見えますが低いのですか?
ブーゲンビリアなど赤い花は沖縄を思い出されます。^^
ポチ

アキチャン  
No title

おはようございます。
私は まだ目にしてません・・・早いですネ (o^-^o)

スモークマン  
No title

>やどかりさんへ ^^
質問なんですが...
回文数になるのはたまたまだったのでしょうか...?
それとも...一般にいくらでもありうることなのでしょうか...?

黒翼  
No title

とても難しい問題でした.

傑作押します

ヤドカリ  
No title

いっちゃん、コメントとポチを有難う御座います。
このハイビスカスは長居植物園で撮ったものです。
まだ、この赤いのだけでした。

ヤドカリ  
No title

アキチャンさん、コメントとポチを有難う御座います。
長居植物園にバラを見に行った時に、ハイビスカスも咲いていました。
ラッキーでした。

ヤドカリ  
No title

crazy_tomboさん、コメントを有難う御座います。
8桁の循環節をもつ 1/73, 1/137 等を調べていて見つけました。
1/137 が回文数になったので他のも探しましたがありませんでした。

ヤドカリ  
No title

黒翼さん、コメントとポチを有難う御座います。
このようなものも解ければ、面白いと思います。
数や図形に興味をもって頂くのが、このブログの目的です。

スモークマン  
No title

>やどかりさんへ ^^
レピュニット(全ての桁が 1である自然数のこと)の因数で回文数になるものがあるかってことですね...?
たしかめようがないけど...^^;...

ヤドカリ  
No title

crazy_tomboさん、コメントを有難う御座います。
レピュニットでなく、10^n-1 の因数です。
確かめるためには調べ尽くす以外にはないと思います。
プログラムでも組んで片っ端から……ですね。