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[答1483] 漸化式で表された数列

ヤドカリ

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[答1483] 漸化式で表された数列


 an+2=(1+an+1)/an (n=1,2,3,……) で表される数列{an}において、

 0<a1<a2 ,a1a2=4 ,a1+a2+a3+a4+……+a1000=47250 のとき、(a1,a2)=?


[解答]

 an+3={1+(1+an+1)/an}/an+1=(1+an+an+1)/(anan+1) ,

 an+4={1+(1+an+an+1)/(anan+1)}/{(1+an+1)/an}=(1+an)/an+1

 an+5={1+(1+an)/an+1}/{(1+an+an+1)/(anan+1)}=an

 an+6=(1+an)/{(1+an)/an+1}=an+1

 よって、すべての自然数nについて an+5=an です。

 a1=a ,a2=b とおけば、a3=(1+b)/a ,a4=(1+a+b)/(ab) ,a5=(1+a)/b で、

 a1+a2+a3+a4+……+a1000=47250 だから、

 200(a1+a2+a3+a4+a5)=47250 、4{a+b+(1+b)/a+(1+a+b)/(ab)+(1+a)/b}=945 、

 4a+4b+4(1+b)/a+4(1+a+b)/(ab)+4(1+a)/b=945 、

 ab=4 だから、4a+4b+b(1+b)+(1+a+b)+a(1+a)=945 、a2+b2+6a+6b=944 、

 a2+2ab+b2+6a+6b+9=961 、(a+b+3)2=961 、a+b>0 より a+b+3=31 、a+b=28 、

 a1+a2=28 ,a1a2=4 より、a,b は x2-28x+4=0 の解で、x=14±8√3 、

 0<a1<a2 だから、(a1,a2)=(14-8√3,14+8√3) です。

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