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[答1484] 外接円と最大値・最小値

ヤドカリ

ヤドカリ

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[答1484] 外接円と最大値・最小値


 外接円の半径が 14 で 外心と垂心の距離が 11 である△ABCの外接円上に点Pをとるとき、

 AP2+BP2+CP2 の最大値は? また、最小値は?


[準備] オイラー線
1484-参考図
 △ABCに対して、平行四辺形ABDC,BCEA,CAFBを描けば、平行四辺形の対角線は中点で交わりますので、

 △ABCと△DEFの重心が一致し、この重心をGとします。

 GはAD,BE,CFを 1:2 に内分しますので、Gを相似の中心として、△ABC∽△DEF です。

 従って、△ABCの外心をO,△DEFの外心をHとすれば、GはOHを 1:2 に内分します

 また、△DEFの各辺の垂直二等分線は △ABCの各頂点から対辺に下ろした垂線ですので、

 △DEFの外心は△ABCの垂心になり、△ABCの垂心はHです。

 O,G,Hは一直線上にあり、この直線をオイラー線といいます。OG:GH=1:2 です。


[解答1]

 △ABCの外心をO(0,0),垂心をH(11,0),A(a1,a2),B(b1,b2),C(c1,c2),P(x,y) とします。

 OA=OB=OC=OP=14 より a12+a22=b12+b22=c12+c22=x2+y2=196 です。

 また、重心は OHを 1:2 に内分する点だから、11/3=(a1+a2+a3)/3 ,0=(b1+b2+b3)/3 、

 a1+b1+c1=11 ,a2+b2+c2=0 です。

 AP2+BP2+CP2=(x-a1)2+(y-a2)2+(x-b1)2+(y-b2)2+(x-c1)2+(y-c2)2

  =x2-2a1x+a12+y2-2a2y+a22+x2-2b1x+b12+y2-2b2y+b22+x2-2c1x+c12+y2-2c2y+c22

  =6・196-2(a1+b1+c1)x-2(a2+b2+c2)y=1176-22x です。

 ここで、xは -14以上14以下のすべての値をとるので、

 P(-14,0) のとき 最大値は 1176-22・(-14)=1484 、

 P(14,0) のとき 最小値は 1176-22・14=868 です。


[解答2]

 △ABCの外心をO,垂心をH とし、OA,OB,OC,OH,OP を始点がOのベクトルとし、

 OX=OA+OB+OC とすれば、(OX-OA)・(OC-OB)=(OB+OC)・(OC-OB)=|OC|2-|OB|2=0 だから、

 AX⊥BC になり、同様に、BX⊥CA だから、Xは△ABCの垂心です。従って、OH=OA+OB+OC です。

 AP2=|OP-OA|2=|OP|2-2OP・OA+|OA|2=142-2OP・OA+142=392-2OP・OA 、

 同様に、BP2=392-2OP・OB ,CP2=392-2OP・OC だから、

 AP2+BP2+CP2=3・392-2OP・(OA+OB+OC)=1176-2OP・OH です。

 -14・11≦OP・OH≦14・11 だから、308≧-2OP・OH≧-308 、1484≧1176-2OP・OH≧868 、

 1484≧AP2+BP2+CP2≧868 となって、最大値は 1484 ,最小値は 868 です。

 なお、最大値,最小値をとるときのPの位置は直線OH上にあるときで、

 最大値は H,O,P の順に並ぶとき ,最小値は O,H,P の順に並ぶときです。

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