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[答1485] 五角形の対角線の長さ

ヤドカリ

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P3180536.jpg



[答1485] 五角形の対角線の長さ

1485-五角形0
 五角形ABCDEがあって、AB=AC=AD=AE=50 ,BC=CD=DE=10 であるとき、対角線BDの長さは?

 また、対角線BEの長さは? なお、図は不正確です。


[解答1]

 ∠BAC=2θ とすれば、BC=2・50sinθ ,BD=2・50sin2θ ,BE=2・50sin3θ です。

 BC=2sinθ より、10=2・50sinθ 、sinθ=1/10 ですので、cosθ=(3√11)/10 、

 sin2θ=2sinθcosθ=2(1/10)(3√11)/10=(6√11)/100 、BD=100sin2θ=6√11 になり、

 sin3θ=3sinθ-4sin3θ=3/10-4/103=296/10000 、BE=100sin3θ=296/10=148/5 です。


[解答2]

 対角線BEと対角線AC,ADの交点をそれぞれP,Qとします。
1485-五角形
 二等辺三角形の底角,合同な三角形の対応する角,平行線の同位角が等しいことにより、

 右図の印のついた角はすべて等しくなり、BP=BC=10 ,EQ=ED=10 であり、

 △ACD∽△BCP だから、AC:BC=CD:CP 、50:10=10:CP 、CP=2 、

 △ACD∽△APQ だから、AC:AP=CD:PQ 、50:(50-2)=10:PQ 、PQ=48/5 になり、

 BE=BP+PQ+QE=10+48/5+10=148/5 です。

 等脚台形BCDEは円に内接するので、トレミーの定理より、BD・CE=BC・DE+CD・BE 、

 BD2=10・10+10・148/5=396 、BD=6√11 です。

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Comments 2

There are no comments yet.
スモークマン  
グーテンターク ^^

[解答2]
相似で求めるのがスマートでしたか☆

わたしゃ、どちらもトレミーで...
Aを円の中心とする(円Aと呼ぶ)と、B,C,D,Eは円周上の点
CAをA側に伸ばして,円Aとの交点をPとすると...
CPは直径
角CBP=90°
全ての長さを1/10で考える...
so...BP^2=10^2-1=99
トレミーの定理から...
BD*CP=6*√11
BD=6√11/10=3√11/5・・・実際はこの10倍なので、6√11

また、
EBは円Aに内接する□EBCDより、再びトレミーの定理で、
EB*10+10^2=BD^2=36*11
so...
EB=296/10=148/5 ♪

結局...
(BD,BE)=(6√11, 148/5)

ヤドカリ
ヤドカリ  
Re: グーテンターク ^^

スモークマンさん、コメントを有難うございます。
Pの取り方が面白いですね。
大きくなった図が、小さな図で得られない
解答の鬼手妙手になればいいですね。