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[答1486] 最小値の最大値

ヤドカリ

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[答1486] 最小値の最大値


 x≧14,y≧14 として、x,y,28xy/(xy-188) の最小値を m とするとき、m の最大値は?

 また、m が最大になるときの x,y の値は?


[解答1]

 m≧14 であり、x≧m ,y≧m ,28xy/(xy-188)≧m です。また、xy≧m2≧196 です。

 28xy/(xy-188)≧m より、28xy≧m(xy-188) 、188m≧(m-28)xy≧(m-28)m2 になり、

 188m≧(m-28)m2 、188≧(m-28)m 、m2-28m-188≦0 、

 ここで、a を a2-28a-188=0 を満たす正の数とすれば、a=14+8√6 で、14≦m≦a です。

 x=y=a のとき、28xy/(xy-188)=28a2/(a2-188)=28a2/(28a)=a ですので、m=a になります。

 m の最大値,そのときの x,y の値はいずれも 14+8√6 です。


[解答2]

 x≧14,y≧14 ですので、xy-188>0 、

 f(x,y)=28xy/(xy-188) とおけば、f(x,y)=28+28・188/(xy-188) ですので、

 xを固定すればyについて単調減少、yを固定してもxについて単調減少、

 f(x,y)を最大にするには x=y で、この値を小さくする必要があります。

 x≧m ,y≧m ,28xy/(xy-188)≧m だから、

 x=y=28xy/(xy-188)=m になれば m は最大になります。

 m=28m2/(m2-188) 、m(m2-188)=28m2 、m(m2-28m-188)=0 、m≧14 だから、m=14+8√6 です。

 もちろん、x=y=14+8√6 のときです。

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