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[答1487] 3辺が等差数列

ヤドカリ

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[答1487] 3辺が等差数列


 BC,CA,AB の長さがこの順に等差数列である△ABCにおいて、

 ∠C=∠A+90゚ ,BC=6√7 のとき、(CA,AB)=?


[解答1]

 BC:CA:AB=sinA:sinB:sinC だから、sinA,sinB,sinC がこの順に等差数列になり、

 sinB=(sinA+sinC)/2 、sin(C+A)=(sinC+sinA)/2 、

 2sin(C/2+A/2)cos(C/2+A/2)=sin(C/2+A/2)cos(C/2-A/2) です。

 0゚<C/2+A/2<90゚ だから、sin(C/2+A/2)≠0 、2cos(C/2+A/2)=cos(C/2-A/2) であり、

 C/2=A/2+45゚ ですので、2cos(A+45゚)=cos45゚ 、2cosAcos45゚-2sinAsin45゚=cos45゚ 、

 両辺を √2 で割って、cosA-sinA=1/2 、

 両辺を2乗して、1-2cosAsinA=1/4 、-cosAsinA=-3/8 、

 よって、cosA,-sinA を解とするxの2次方程式は、x2-x/2-3/8=0 、

 これを解けば、2x2-x-3/4=0 、x=(1±√7)/4 であり、

 0゚<A<90゚ だから cosA>0 ,-sinA<0 、cosA=(1+√7)/4 ,-sinA=(1-√7)/4 です。

 sinA=(√7-1)/4 、sinC=sin(A+90゚)=cosA=(1+√7)/4 になり、

 BC:AB=sinA:sinC だから、6√7:AB=(√7-1):(√7+1) 、

 6√7:AB=(√7-1):(√7+1)=(√7-1)(√7+1):(√7+1)2=6:(2√7+8)=6√7:(14+8√7) 、

 AB=14+8√7 になり、CA=(BC+AB)/2=(6√7+14+8√7)/2=7+7√7 です。

 (CA,AB)=(7+7√7,14+8√7) です。


[解答2]

 まず、sinC=sin(A+90゚)=cosA 、sinB=sin(A+C)=sin(2A+90゚)=cos2A であり、

 A+C=2A+90゚<180゚ だから A<45゚ です。

 BC:CA:AB=sinA:sinB:sinC=sinA:cos2A:cosA だから、

 sinA,cos2A,cosA がこの順に等差数列になり、2cos2A=sinA+cosA 、4cos22A=(sinA+cosA)2

 4(1-sin22A)=1+sin2A 、4sin22A+sin2A-3=0 、(4sin2A-3)(sin2A+1)=0 、

 sin2A>0 だから sin2A=3/4 、cos22A=1-sin22A=1-9/16=7/16 、cos2A=(√7)/4 、

 sin2A=(1-cos2A)/2=(4-√7)/8=(8-2√7)/16 、sinA=(√7-1)/4 、

 cos2A=(1+cos2A)/2=(4+√7)/8=(8+2√7)/16 、cosA=(√7+1)/4 です。

 BC:CA:AB=sinA:cos2A:cosA=(√7-1)/4:(√7)/4:(√7+1)/4=(√7-1):√7:(√7+1)

  =(√7+1)(√7-1):(√7+1)√7:(√7+1)2=6:(√7+7):(2√7+8) になり、

 BC=6√7 だから、(CA,AB)=(7+7√7,14+8√7) です。


[解答3]

 辺AB上に ∠ACD=90゚ になるように点Dをとれば、
1487-参考図
 △ABC∽△CBD ですので、AB:CB=BC:BD 、AB・BD=BC2=252 です。

 また、条件より 2AC=AB+BC ,2CD=CB+BD になり、

 三平方の定理より、AD2=AC2+CD2 であり、AD2=(AB-BD)2=(AB+BD)2-4AB・BD=(AB+BD)2-1008 、

 4AD2=4AC2+4CD2=(AB+BC)2+(CB+BD)2=AB2+2AB・BC+BC2+BD2+2BD・BC+BC2

  =AB2+2AB・BC+AB・BD+BD2+2BD・BC+AB・BD=(AB+BD)2+2(AB+BD)BC=(AB+BD)2+12(AB+BD)√7 、

 よって、4{(AB+BD)2-1008}=(AB+BD)2+12(AB+BD)√7 、3(AB+BD)2-12(AB+BD)√7-4032=0 、

 (AB+BD)2-4(AB+BD)√7-1344=0 、(AB+BD-16√7)(AB+BD+12√7)=0 、AB+BD=16√7 です。

 AB+BD=16√7 ,AB・BD=252 より、AB,BD を解とするxの2次方程式は、x2-(16√7)x+252=0 、

 (x-8√7)2=196 、x-8√7=±14 、x=8√7±14 、AB>BD だから、AB=14+8√7 です。

 また、2AC=AB+BC=14+8√7+6√7 だから (CA,AB)=(7+7√7,14+8√7) です。


[解答4] 再出発さんの図を参考に

 BC,CA,AB の長さがこの順に等差数列なので、BC=b-d ,AC=b ,AB=b+d とおけます。
1487-参考図1
 △ABCの外接円と直径ADを描けば、∠ACD=90゚ 、∠BCD=∠BAC=∠BCD だから、BD=BC=b-d です。

 また、ACの延長とDBの延長の交点をPとすれば、△ABP≡△ABD だから AP=AD ,BP=BD=b-d です。

 三平方の定理より AD2=AB2+BD2=(b+d)2+(b-d)2=2b2+2d2

 CD2=AD2-AC2=2b2+2d2-b2=b2+2d2 になります。

 PA・PC=PA・(PA-b)=PA2-bPA=AD2-bAD=AD2-bAD=2b2+2d2-bAD 、

 PD・PB=2PB2=2(b-d)2=2b2-4bd+2d2

 方べきの定理より PA・PC=PD・PB だから、2b2+2d2-bAD=2b2-4bd+2d2 、AD=4d です。

 トレミーの定理より AD・BC+AC・BD=AB・CD だから、4d(b-d)+b(b-d)=(b+d)CD 、

 (b+4d)(b-d)=(b+d)CD 、(b+4d)2(b-d)2=(b+d)2CD2

 (b+4d)2{(b+d)2-4bd}=(b+d)2(b2+2d2) 、(b+d)2{(b+4d)2-(b2+2d2)}=4bd(b+4d)2

 (b+d)2(8bd+14d2)=4bd(b+4d)2 、(b+d)2(4b+7d)=2b(b+4d)2

 4b3+15b2d+18bd2+7d3=2b3+16b2d+32bd2 、2b3-b2d=14bd2-7d3

 b2(2b-d)=7d2(2b-d) 、2b-d=BC+AC>0 だから b2=7d2 、b=d√7 です。

 BC=b-d=d(√7-1)=6√7 だから、d=(√7+1)√7=7+√7 、

 (CA,AB)=(b,b+d)=(d√7,b+d)=(7+7√7,14+8√7) です。

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