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[答1488] 自然数の約数

ヤドカリ

ヤドカリ

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[答1488] 自然数の約数


 正の約数が20個で 20個の約数のうち小さい方から11番目が48である自然数は 全部で何個?

 この条件を満たす自然数のうち、どの2個の差が最小?

 差は 大きい方から小さい方を引いたものとし、何と何かを答えて下さい。


[解答]

 条件を満たす自然数は48の倍数ですので 48n と表されます。

 48n=24・3・n であり、48n の約数の個数が 20個になるのは、

 nが 2,3 以外の素因数を含めば nが素数のときに限ります。

 nが 2,3 以外の素因数を含まない場合は n=2a・3b とすれば、

 48n=24+a・31+b の正の約数の個数が (5+a)(2+b)=20 であり、

 5+a≦10 ,2+b≦4 、(a,b)=(0,2),(5,0) に限り、n=9,32 です。

 nは 9 または 32 または 素数で、48の約数は、1,2,3,4,6,8,12,16,24,48 だから、

 48が小さい方から11番目になるためには、n<48≦2n 、24≦n<48 です。

 従って、n=29,31,32,37,41,43,47 の 7個です。

 差が最小なのは n=31,32 のときで、48n=1488,1536 です。

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Comments 2

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スモークマン  
グーテンターク ^^

同じと思いますが...
約数20個
48=3*2^4
so...約数の個数20=2*10=4*5=2*2*5
so...10番目
3*2^9...2^5
3^3*2^4...3^2<3*2^2...x
3*p*2^4...p<48<2p
p=29,31,37,41,43,47
で、全部で7個
(32-31)*48=48が一番小さい差
so...
3*2^9=3*512=1536
3*31*2^4=1488
(1536,1488)♪

としました ^^

ヤドカリ
ヤドカリ  
Re: グーテンターク ^^

スモークマンさん、コメントを有難うございます。
48n で、nが素数のときはすぐ分かりますが、
n=32 のときが見落としやすい問題でした。