FC2ブログ

Welcome to my blog

[答1490] 三角方程式

ヤドカリ

ヤドカリ

P4030054.jpg



[答1490] 三角方程式


 sinθ+tan38゚cosθ=1 ,0゚≦θ≦90゚ のとき θ=?


[解答1]

 tan38゚=t とすれば、sinθ+t・cosθ=1 、t・cosθ=1-sinθ 、t2・cos2θ=(1-sinθ)2

 t2(1-sin2θ)=(1-sinθ)2 、t2(1-sinθ)(1+sinθ)-(1-sinθ)2=0 、

 (t2+t2・sinθ-1+sinθ)(1-sinθ)=0 、

 sinθ=(1-t2)/(1+t2),1 、sinθ=cos76゚,1 、θ=14゚,90゚ です。


[参考]

 分母に (cos2θ+sin2θ) をつけ、分子・分母を cos2θ で割れば、

 sin2θ=2sinθcosθ=2sinθcosθ/(cos2θ+sin2θ)=2tanθ/(1+tan2θ) 、

 cos2θ=cos2θ-sin2θ=(cos2θ-sin2θ)/(cos2θ+sin2θ)=(1-tan2θ)/(1+tan2θ) 、

 倍角の公式により、tan2θ=2tanθ/(1+tan2θ) です。

 tanθ=t とすれば、sin2θ=2t/(1+t2) ,cos2θ=(1-t2)/(1+t2) ,tan2θ=2t/(1-t2) です。


[解答2]

 sinθ+tan38゚cosθ=1 の両辺に cos38゚ を掛けて、

 sinθcos38゚+cosθsin38゚=cos38゚ 、sin(θ+38゚)=sin52゚ 、

 38゚≦θ+38゚≦128゚ だから、θ+38゚=52゚,128゚ 、θ=14゚,90゚ です。


[解答3]

 cosθ=x ,sinθ=y とおけば、y=1-(tan38゚)x です。
1490-参考図
 O(0,0) とし、この直線と単位円との交点をB,C とすれば、θは動径OB,OCが表す角です。

 この直線と y軸との交点は(0,1)ですので B(0,1)とし、x軸との交点を Aとします。

 ∠OCB=∠OBC=90゚-∠OAB=90゚-38゚=52゚ 、∠COA=∠OCB-∠CAO=52゚-38゚=14゚ になり、

 θ=∠COA,∠BOA=14゚,90゚ です。

.
スポンサーサイト



Comments 2

There are no comments yet.
ひとりしずかです。  
大好きな花!

去年秋小さな庭を更地にしため仮植えにしていたヒトリシズカ
無事に咲いてくれました!

ヤドカリ
ヤドカリ  
Re: 大好きな花!

ひとりしずかさん、コメントをありがとうございます。
静御前に因んでつけられた名前だと記憶しています。
なかなか味わいある姿です。