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[答138] 鈍角三角形の個数

ヤドカリ

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[答138] 鈍角三角形の個数


 円周の50等分する50個の点のうち3点を結んでできる鈍角三角形の個数は?


[解答1]

 右上の図のように、鈍角三角形の鈍角の頂点をAとし、左回りにB,Cとします。

 見方を変えると、まず、頂点Bを50個の点から選んで、

 次に、Bを通る直径の片側(中心からBを見たときの右側)の24個の点から2点を選んで、

 Bに近い方からA,Cとしたことになります。

 従って、その個数は、50・242=13800 個です。


[解答2]

 左下の図のように、1個の鋭角三角形に対して、中心に関して各頂点に対称な点をとって

 3個の鈍角三角形が対応します。

 直角三角形は、直径とあと1つの頂点の選び方で、25・48=1200 個だから、

 鈍角三角形は、(503-1200)・(3/4)=13800 個です。


[解答3] 再出発さんの解答

 50等分点の一つ(1)に点Aを固定し、(2)~(50)に2点B,Cを反時計回りに選びます。

 右下の図は横軸に点B、縦軸に点Cの位置を示します。

 例として1,3,25を選んだときの組合せを二重丸で示します。

 このとき作られる三角形は、492 個、

 鈍角三角形になるのは、(242)・3 個、

 点Aを固定しなければ全体で、503 個、

 点Aをどの位置((1)~(50))に置いても鈍角三角形は同じ比で現れるから、

 503・(242)・3/492=13800 個。


[解答4]

 等脚台形の数と同じです。 https://okayadokary.blog.fc2.com/blog-entry-410.html をご覧下さい。



[参考]

 一般に、円周の 2n 等分する 2n 個の点のうちの3点であれば、

 鈍角三角形の個数は、n(n-1)(n-2) 個、

 直角三角形の個数は、2n・1・(n-1)=2n(n-1) 個、

 鋭角三角形の個数は、n(n-1)(n-2)/3 個 となります。

  [解答2]より円周を偶数個に等分する場合、鈍角三角形が鋭角三角形の3倍あることになります。


 一般に、円周を 2n-1 等分する 2n-1 個の点のうちの3点であれば、

 鈍角三角形の個数は、(n-1)(n-2)(2n-1)/2 個、

 鋭角三角形の個数は、n(n-1)(2n-1)/6 個 となります。

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Comments 12

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アキチャン  
No title

おはようございます。
白色のシランかしら?・・・・知らん! (笑) (o^-^o)

スモークマン  
No title

グーテンモルゲン ^^
そうか...鋭△:鈍△=1:3 で考えればよかったんだ♪
内接□に2個鈍△では...3点が重なってるものがあるからややこしくなるわけに気づけました...^^; Orz...

uch*n*an  
No title

私は,[解答1]でした。
[解答2]は,n が偶数のときは,鋭角三角形:鈍角三角形 = 1:3 が明瞭でいいですね。
ただ,n が奇数ではそのままでは使えないし,直接に鈍角三角形を求めるわけでないので,
解答には書きませんでした。
[解答3]は,なるほど,で面白いですが,少し複雑かなぁ...ただ,格子点の図はいいですね。
[136]との関連も見えてきます。その方向の解法もありますが,それは,まぁ,いいでしょう。
[解答4]は,今後,問題として出て来るのかな? (^^;

黒翼  
No title

解答3が少し難しいですね.ちょっと僕には理解が出来ません.(単純に僕の理解力が足りないだけですが…)

ただ,やはり僕の解法は若干複雑ですね.もっと鍛えていくしかありませんね.

ヤドカリ  
No title

アキチャンさん、その通り、白色のシランです。
紫ほどは目立ちませんが、希少性はあるかと思います。

ヤドカリ  
No title

crazy_tomboさん、コメントを有難う御座います。
納得いただけたでしょうか?

ヤドカリ  
No title

uch*n*anさん、コメントを有難う御座います。
どの解答も一長一短です。仰る通りですね。
[解答4]はこの問題を解くだけでは、多分思いつかないと思います。

ヤドカリ  
No title

黒翼さん、コメントを有難う御座います。
[解答3]はいろんな問題で応用できる方法です。
理解出来ると役立ちます。
ただ、解答にするには少々面倒で、解答を載せる者としては避けたい方法ですが、
再出発さんが画像付きの丁寧な解答を送ってくれましたので載せさせてもらいました。

いっちゃん  
No title

こんばんは。
白いシランはなかなか見ることができない・・と仰って
いたけど見れたのですね。。^^ほんと、希少価値です。ポチ

ヤドカリ  
No title

いっちゃん、コメントとポチを有難う御座います。
このシランは長居植物園のバラ園の近くで見ました。

atc*yk  
No title

解答2がきれいな解き方でいいですね

頭が良くないので人の解法をあまり読まない(読めない)のですが、
ここに来る人たちは人の解法もよく読んでいるようで感心しています(^-^;)

ヤドカリ  
No title

atc*ykさん、コメントを有難う御座います。
解答を読まれて共感できる部分があれば、頭に残ります。
[解答2]がいちばん綺麗ですが、点が偶数個のときしか使えないのが欠点です。