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[答1491] nCr の比

ヤドカリ

ヤドカリ

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[答1491] nCr の比

 n,r は、r≧2 ,n≧r+3 を満たす自然数で、

 nr+1nr+2nr+3=1:2:3 のとき、 (nr-2nr-1nr)=?


[解答1]

 1/nr+1:1/nr+2:1/nr+3=1:1/2:1/3 、

 (r+1)!・(n-r-1)!/n!:(r+2)!・(n-r-2)!/n!:(r+3)!・(n-r-3)!/n!=1:1/2:1/3 、

 (r+1)!・(n-r-1)!=2・(r+2)!・(n-r-2)!=3・(r+3)!・(n-r-3)! 、

 (r+1)!・(n-r-1)(n-r-2)・(n-r-3)!=2・(r+2)!・(n-r-2)・(n-r-3)!=3・(r+3)!・(n-r-3)! 、

 (r+1)!・(n-r-1)(n-r-2)=2・(r+2)!・(n-r-2)=3・(r+3)! 、

 (r+1)!・(n-r-1)(n-r-2)=2・(r+2)・(r+1)!・(n-r-2)=3・(r+3)(r+2)・(r+1)! 、

 (n-r-1)(n-r-2)=2(r+2)(n-r-2)=3(r+3)(r+2) 、

 よって、n-r-1=2(r+2) ,2(n-r-2)=3(r+3) 、n=3r+5 ,2n=5r+13 、

 これを解いて、n=14 ,r=3 、

 (nr-2nr-1nr)=(141142143)=(14,91,364) です。


[解答2]

 nr+1nr+2nr+1nr+1・(n-r-1)/(r+2)=(r+2):(n-r-1) 、

 (r+2):(n-r-1)=1:2 、n-r-1=2(r+2) 、n=3r+5 になり、

 nr+2nr+3nr+2nr+2・(n-r-2)/(r+3)=(r+3):(n-r-2) 、

 (r+3):(n-r-2)=2:3 、2(n-r-2)=3(r+3) 、2n=5r+13 になるので、

 n=3r+5 ,2n=5r+13 を解いて、n=14 ,r=3 、

 (nr-2nr-1nr)=(141142143)=(14,91,364) です。

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Comments 4

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ヤドカリ
ヤドカリ  
Re: タイトルなし

ぺろぷみさん、非公開コメントを有難うございます。
> 作問のプロセスに関わるものだったか、
> 解説をいただけると大変勉強になります。
とのことですが、大したことはありません。
パスカルの三角形を眺めていたら、
1,14,91,364,1001,2002,3003,3432,3003,2002,……
と並んでいたので、1001:2002:3003=1:2:3 だから、
1491番の問題に使えそうだと思い、
連続して、1:2:3 になるものを求めると、
これ以外の所にないので、メモっておきました。

ぺろぷみ  

ヤドカリ様

なるほど、ありがとうございました!

ヤドカリ
ヤドカリ  
Re: タイトルなし

ぺろぷみさん、コメントを有難うございました。