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[答1492] 直角二等辺三角形と面積

ヤドカリ

ヤドカリ

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[答1492] 直角二等辺三角形と面積


 ∠A=90゚ の直角二等辺三角形ABCの内部に点Pがあり、PA=3 ,PB=7 ,PC=5 のとき、
1492-直角二等辺三角形と面積0
 △PBC ,△PCA ,△PAB の面積は?


[解答1]

 座標平面上で、A(0,a),B(-a,0),C(a,0),P(p,q) とします。
1492-直角二等辺三角形と面積1
 PA2=p2+(q-a)2=p2+q2+a2-2aq=9 ……(1)

 PB2=(p+a)2+q2=p2+q2+a2+2ap=49 ……(2)

 PC2=(p-a)2+q2=p2+q2+a2-2ap=25 ……(3)

 (2)(3)より、p2+q2+a2=37 ,ap=6 、(1)と併せて aq=14 です。

 a2p2+a2q2+a4=37a2 だから、36+196+a4=37a2 、a4-37a2+232=0 、(a2-8)(a2-29)=0 、

 a2=8,29 ですが、BC2=4a2>72 だから、a2=8 は適しません。

 △ABC=2a・a/2=a2=29 で、△PBC=2a・q/2=aq=14 、△PCA+△PAB=29-14=15 です。

 Pを通り BCに平行な直線と AC,AB の交点をそれぞれ D,E とすれば、

 △PCA:△PAB=PD:PE=(a-q-p):(a-q+p)=(a2-aq-ap):(a2-aq+ap)

  =(29-14-6):(29-14+6)=3:7 ですので、

 △PCA=15・3/10=9/2 ,△PAB=15・7/10=21/2 です。

 まとめて、△PBC=14 ,△PCA=9/2 ,△PAB=21/2 です。


[解答2]

 点Pの 辺BC,辺CA,辺ABに関して対称な点を それぞれ Q,R,S とすれば、
1492-直角二等辺三角形と面積2
 △BQS,△CRQは直角二等辺三角形になり、QS=7√2 ,QR=5√2 です。

 △QRSで余弦定理より、

 cos∠SQR=(QS2+QR2-RS2)/(2・QS・QR)=(98+50-36)/140=4/5 になり、sin∠SQR=3/5 です。

 △PBC=△QBC=(1/2)・QB・QC・sin(∠SQR+90゚)=(1/2)・7・5・cos∠SQR=(35/2)(4/5)=14 です。

 △QBCで余弦定理より、

 BC2=QB2+QC2-2・QB・QC・cos(∠SQR+90゚)=49+25+70・sin∠SQR=74+70・3/5=116 、

 BC=2√29 、よって、AB=AC=BC/√2=√58 です。

 AB2=58 ,PA2+PB2=32+72=58 だから、∠APB=90゚ 、△PAB=3・7/2=21/2 、

 △PCA=△ABC-△PBC-△PAB=AB2/2-14-21/2=29-14-21/2=9/2 です。

 まとめて、△PBC=14 ,△PCA=9/2 ,△PAB=21/2 です。


[解答3]

 点Pの 辺BC,辺CA,辺ABに関して対称な点を それぞれ Q,R,S とすれば、

 △BQS,△CRQは直角二等辺三角形になり、QS=7√2 ,QR=5√2 です。

 RからQSにおろした垂線をRHとすれば、三平方の定理より、RH2=RQ2-QH2=RS2-SH2

 RQ2-RS2=QH2-SH2 、50-36=(QH-SH)(QH+SH) 、14=(QH-SH)・7√2 、QH-SH=√2 で、

 QH+SH=7√2 と併せて、QH=4√2 ,SH=3√2 になり、RH=3√2 です。

 よって、∠RSH=45゚ ,△QRH=(4√2)(3√2)/2=12 です。

 ∠ASB=90゚ だから、△PAB=△SAB=3・7/2=21/2 ,AB2=32+72=58 になります。

 また、∠BQC+∠QRH=90゚+∠HQR+∠QRH=90゚+90゚=180゚ だから、

 △BQC:△QRH=QB・QC:RQ・RH 、△PBC:12=7・5:(5√2)(3√2) 、△PBC=14 です。

 △PCA=△ABC-△PBC-△PAB=AB2/2-14-21/2=29-14-21/2=9/2 です。

 まとめて、△PBC=14 ,△PCA=9/2 ,△PAB=21/2 です。


[解答4]

 △ABCの外部に点Qを △ABQ≡△ACP を満たすようにとります。
1492-直角二等辺三角形と面積4
 △AQPは等辺が 3 である直角二等辺三角形で、QP=3√2 です。

 余弦定理より cos∠QBP=(BQ2+BP2-QP2)/(2・BQ・BP)=(52+72-18)/(2・5・7)=4/5 、

 ∠BPC=180゚-∠PBC-∠PCB=90゚+45゚-∠PBC+45゚-∠PCB=90゚+∠ABP+∠ACP=90゚+∠QBP 、

 よって、sin∠BPC=cos∠QBP=4/5 ,∠BPC>90゚ だから cos∠BPC=-3/5 です。

 面積の公式より △PBC=(1/2)PB・PCsin∠BPC=(1/2)・7・5・4/5=14 、余弦定理より

 BC2=PB2+PC2-2・PB・PCcos∠BPC=72+52-2・7・5(-3/5)=116 、AB2=AC2=BC2/2=58 です。

 ここで、PA2+PB2=32+72=58=AB2 だから、∠APB=90゚ 、△PAB=(1/2)・PA・PB=(1/2)・3・7=21/2 、

 △PCA=△ABC-△PAB-△PBC=AB2/2-21/2-14=58/2-21/2-14=9/2 です。

 まとめて、△PBC=14 ,△PCA=9/2 ,△PAB=21/2 です。

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Comments 2

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スモークマン  
グーテンターク ^^

友人からのものです ^^
A(0,0),B(0,a),C(a,0)
P(x,y)
x^2+y^2=9・・・(1)
(a-x)^2+y^2=25・・・(2)
x^2+(a-y)^2=49・・・(3)
(2)-(1)より、x=(a^2-16)/(2a)
(3)-(1)より、y=(a^2-40)/(2a)
(1)に入れて...
((a^2-16)/(2a))^2+((a^2-40)/(2a))^2=9
a^2=Aとおくと、
A^2-74A+928=0・・・A=58,16
so...
a=√A=√58, 4
a=4 では、y<0 となり不適
so...
△PAC=ay/2=(a^2-40)/4=18/4=9/2
△PAB=ax/2=(a^2-16)/4=42/4=21/2
△PBC=29-9/2-21/2=14

*巧いと思いました ^^

ヤドカリ
ヤドカリ  
Re: グーテンターク ^^

スモークマンさん、コメントを有難うございます。
直角二等辺三角形ですので、座標で解くのが紛れがないと思います。
[解答1]のような座標の取り方もできますし、ここに書かれている取り方もできます。
どちらがいいのか分かりませんが、私は問題図の向きに合わせました。