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[答142] 2個の3桁の数でできる6桁の数

ヤドカリ

ヤドカリ


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[答142] 2個の3桁の数でできる6桁の数


 3桁の自然数が2個あり、その和は 999 です。

 この2数を並べてできる2個の6桁の数の片方は他方の倍数になります。

 3桁の自然数の小さい方は?


[解答]

 小さい方をnとすると、大きい方は 999-n だから、

 6桁の数の小さい方は 1000n+(999-n)=999(n+1)、

 大きい方は 1000(999-n)+n=999(1000-n) になります。

 大きい方が小さい方のk倍(ただし k=2,3,4,5,6,7,8,9)とすると、

 999(n+1)k=999(1000-n)、(n+1)k=1000-n、

 (n+1)k+(n+1)=1001、(n+1)(k+1)=7・11・13、

 よって、n+1=11・13, k+1=7 で、n=142 となります。


[参考] ダイヤル数

 142857 は、十進法におけるダイヤル数の1つです。

 ダイヤル数とは、自然数を掛けたときに各桁の数が循環する数のことです。

 142857×1=142857, 142857×2=285714, 142857×3=428571,
 142857×4=571428, 142857×5=714285, 142857×6=857142

 となります。また、142857×7=999999 からわかるように、1/7 の循環節です。

 更に、14+28+57=99, 142+857=999 という性質もあります。

 一般に、素数pで、1/p の循環節が(p-1)桁のときにダイヤル数になります。

 1/13 の循環節は6桁ですのでダイヤル数ではありませんが、似た性質があります。

 076923×1=076923, 076923×3=230769, 076923×4=307692,
 076923×9=692307, 076923×10=769230, 076923×12=923076

 076923×2=153846, 076923×5=384615, 076923×6=461538,
 076923×7=538461, 076923×8=615384, 076923×11=846153

 ダイヤル数は、他に、1/17, 1/19, 1/23 の循環節である、

 0588235294117647, 052631578947368421, 0434782608695652173913

 等があります。

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Comments 20

There are no comments yet.
黒翼  
No title

素数pで,1/pの循環節が(p-1)桁のときには,ダイヤル数になるというのは,どうやったら証明できるのでしょうか.

ヤドカリ  
No title

アキチャンさん、いつも真っ先にコメントを頂き、恐縮です。
名前は知らないのですが、目についたものを片っ端から撮っています。

ヤドカリ  
No title

uch*n*anさん、コメントを有難う御座います。
1/7 の循環節以外のダイヤル数は長いので、手計算を前提とすると使えないです。

ヤドカリ  
No title

黒翼さん、コメントを有難う御座います。
ご質問は筆算をイメージするとほとんど明らかですが、
1/7 を例に簡単に説明すると、1÷7 の筆算をするとき、
まず、10÷7=1 余り 3 で、
次に、30÷7=4 余り 2 だから、ここからは 3/7 の循環節を求めるのと同じです。
その次は 2/7 の循環節を求めることになります。
循環節が6桁だから、余り1~6まで全て現れます。

いっちゃん  
No title

こういう可愛いピンクの色も
すてきです。。

スモークマン  
No title

>やどかりさんへ ^^
黒翼さんにかぶりますが Orz...
上の説明でも...なぜ循環するのかいまいちピンと来ない鈍いわたし...^^;
よりわかりやすい解説をお願いできますれば...^^; ~m(_ _)m~

ヤドカリ  
No title

いっちゃん、いつもコメントとポチを有難う御座います。
これも緑化センターで撮りました。手当たり次第にです。

ヤドカリ  
No title

>crazy_tomboさんへ ^^
1÷7,3÷7,2÷7,6÷7,4÷7,5÷7 の順に、循環するまで筆算で計算し、
並べて比較すればお分かり頂けるかと思います。
当然ですが、(1÷7 の循環節)×3=(3÷7 の循環節) です。

スモークマン  
No title

>やどかりさんへ ^^
そっか!!
了解...最初の説明で理解できなかったわたしは...やっぱり鈍感でした...^^; Orz~
0.142857...
---
7| 1.0
7
30
28
20
14
60
56
40
35
50
49

と...10,30,20,60,40,50 と...x1,3,2,6,4,5
と...x1~6 までが上手い具合に出てくるからなんですね♪

スモークマン  
No title


筆算の形で書いたんだけど...ずれてる...^^; Orz...

ヤドカリ  
No title

crazy_tomboさんへ、コメントを有難う御座います。
どうも空白が続くと詰まるようですね。
分かっていただけてホッとしています。

rosastone  
No title

やどかりさん、お知らせありがとうございました。
ダイヤル数って言うんですね。
私はこのような数や計算のいろんな法則は全く知らないんで、
いきあたりばったりのとんでもない遠回りな解き方しかできません^^;
でも仮に知ったとしても、使いこなせるまでとても頭がついていかないでしょう。
論理的思考が極めて苦手な人間ですから…(^^;)。。。

黒翼  
No title

お礼が遅れました.解答ありがとうございました.

ヤドカリ  
No title

ローザさん、コメントを有難う御座います。
たまたまローザさんが取り上げておられた問題を思い出したので、コメントしました。
面白い数があるのだなぁ、と、思って頂ければ嬉しいことです。

ヤドカリ  
No title

黒翼さん、コメントを有難う御座います。
分かっていただけたようですね。
ダイヤル数で問題として実際に使えるのは 142857 ぐらいかなぁ。

rosastone  
No title

ダイヤル数というものを知らなくても、こうやって解けるということは分かりました。
999(n+1)k=999(1000-n)
までたどり着けたところで、私なら力尽きそうですが…^^;

ヤドカリ  
No title

ローザさん、コメントを有難う御座います。
(n+1)k=1000-n までくれば、k=2,3,4,5,6,7,8,9 を片っ端から代入してもOK。
能率が悪くても確実です。

田中有馬菜々  
No title

わたしも、ダイヤル数という単語を知りませんでした。
142857×1=142857
142857×2=285714
142857×3=428571
142857×4=571428
142857×5=714285
142857×6=857142
を提示しても、何の感激もしてくれない生徒に、
算数好きになってもらうのには、どぉしたらいいんでしょう?

ヤドカリ  
No title

菜々さん、コメントを有難う御座います。
菜々さんは小学校か塾の先生ですか?
それとも小学生の家庭教師?
「何の感激もしてくれない生徒に、
算数好きになってもらうのには、どぉしたらいいんでしょう?」
知的好奇心を持たせるのは、
このブログの問題を解くより、ずっと難しいことですね。
答になっていなくて御免なさい。

ヤドカリ  
No title

菜々さん、鍵コメントを有難う御座います。