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[答144] 円錐の切断と表面積

ヤドカリ

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[答144] 円錐の切断と表面積


 高さ(または母線の長さ)を3等分するように底面に平行に直円錐を切断し、上からA,B,Cとします。

 Bの表面積が100,Cの表面積が204 であるとき、Aの表面積は?


[解答]

 相似な図形では、面積比=相似比2 であることを使います。

 Aの側面積をS,底面積をTとすると、

 (22-12)S+(22+12)T=100,(32-22)S+(32+22)T=204、

 3S+5T=100,5S+13T=204、

 これを解くと、S=20,T=8、Aの表面積は、S+T=28 になります。


☆ Aの底面の半径をR,母線の長さをLとすれば、

 側面積:底面積=πLR:πR2=L:R で、これが、20:8=5:2 だから、

 展開図の側面(扇形)の中心角をθすると、5θ=2・2π、θ=4π/5=144゚ です。

 28=14√4 も意識して、BとCの表面積を決めました。


☆ πR2=8 より、R=2√(2/π),L=5√(2/π) となりますので、

 半径から求めようとすると、計算が大変です。

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Comments 7

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アキチャン  
No title

おはようございます。
カレー味の香りがしましたか~ (o^-^o)

uch*n*an  
No title

中心角 144°は見事だと思いましたが,28 = 14√4 は気付いてはいたもののちょっとね...
答えに問題番号が関係しているのは解く者としては答え合わせにもなって助かります。
でも,面白い問題の出題がボツになったのでは困りますよね。
やどかりさんの病気ならいい?のですが,ご無理はなさらないように。

黒翼  
No title

相似比と面積比の関係を使うというのは,お見事ですね.僕は半径から求めようとしたので,結局うまくとけませんでした.

毎問,大変勉強になります.

黒翼  
No title

再コメ申し訳ありません.

傑作押します.

ヤドカリ  
No title

アキチャンさん、コメントを有難う御座います。
カレーバイン(ビグノニア)をよく御存じですね。
カレーの香りには気づきませんでした。もっと近づけばよかったかと思います。

ヤドカリ  
No title

uch*n*anさん、コメントを有難うございます。
B,Cの表面積を 25,51 にすればAは 7 になります。
144が7の倍数であればそのように設定しますが、うまくいきませんでした。
20.6倍すれば、条件が、515,1050.6 で答が 144.2 になりますが、作為的です。
かといって、隠し味の中心角 144°は変えたくはなかったので、
結局4倍し、Bの表面積もきれいなので、苦し紛れの、28=14√4 でした。
中心角を求める問題にすれば露骨な答が続きますし……。

ヤドカリ  
No title

黒翼さん、コメントとポチを有難うございます。
相似比と面積比の関係を使うのは、ほとんどの方がそのようにされていました。
参考になったのなら幸いです。
ただ、その解き方では中心角 144°は気づきにくいはずです。