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[答146] 極大値と極小値の差

ヤドカリ

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[答146] 極大値と極小値の差


 実数係数の3次関数 f(x)=x3-3(k+10)x2+120kx が、

 極大値と極小値をもち、その差が 256 であるとき、定数kの値は?


[解答1]

 f(x)=x3-3(k+10)x2+120kx より、

 f'(x)=3x2-6(k+10)x+120k

   =3{ x2-2(k+10)x+40k }

   =3(x-2k)(x-20)

 よって、k<10 のとき、x=2k で極大、x=20 で極小になり、

   10<k のとき、x=20 で極大、x=2k で極小になります。

 いずれの場合も、|f(2k)-f(20)|=256 で、

 f(2k)=-4k3+120k2,f(20)=1200k-4000 だから、

 |-4k3+120k2-1200k+4000|=256 、

 |k3-30k2+300k-1000|=64 、

 (k3-30k2+300k-1064)(k3-30k2+300k-936)=0 、

 (k-14)(k2-16k+76)(k-6)(k2-24k+156)=0 、

 これを満たす実数kは、k=14,6 です。


[解答2]

 3次の係数がaである3次関数が、x=α,x=β で極値をとるとき、

 その差が、|a||α-β|3/2 であることを知っていれば、

 x=2k,x=20 で極値をとるので、その差は、

 |2k-20|3/2=256 、|k-10|3=64 、|k-10|=4 、

 k=10±4=14,6 になります。


[参考]

 3次の係数がaである3次関数f(x)が、x=α,x=β で極値をとるとき、

 f'(x)=3a(x-α)(x-β) だから、

 f(β)-f(α)

 =αβ f'(x)dx

 =αβ 3a(x-α)(x-β)dx

 =-3a(β-α)3/6=-a(β-α)3/2

 となって、極値の差は、|a||α-β|3/2 になります。

☆ この結果は、3次関数の極値を求めたときの検算に有効です。

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Comments 12

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黒翼  
No title

3次の係数がaの3次関数がx=α,βで極値をとる時の極大値と極小値の差が|a||α-β|^3/2となることは知らなかったです.

たとえ知らなくとも,このような問題を見かけたときはまず一般化して公式(?)を導いてから解くのもいいかもしれませんね.

アキチャン  
No title

おはようございます。
小さな、紫色のお花・・・かわいいですね (o^-^o)

いっちゃん  
No title

おはようございます。。
ムラサキカタバミに似た可愛い花ですね^^
山歩きでもこんな小さいな花を見つけると思わず
足を止めて撮りたくなりますよね。。ポチ

uch*n*an  
No title

なるほど,[参考]のようにやればもっと計算が楽ですし,一般的ですね。
私は[解答2]の方向でしたが,計算の工夫がいまひとつでした。

uch*n*an  
No title

黒翼さん
まずは,問題が解けたとき,別解を考えてみるのがいいと思います。
もちろん答えの確認にもなりますが,何よりも理解が進むし,
発想力や考える力を鍛える訓練にもなると思います。慣れてくると楽しいですしね。
その方法の一つが一般化です。一般化で問題の本質が見えてくることがよくあります。
「公式」というのは,私は苦手で,最小限のものしか覚えていません。
しかし,一般化した考え方ができていれば,覚えていなくともすぐに導けるし,
何よりも応用が利きます。
小学校の頃は算数が大嫌いでしたが,今思うと,計算の訓練と結果を丸暗記させられて,
考える力がゼロだったからのように思います。
中学生になって,好きな歴史がらみの数学史を通して,
偉大な数学者たちの生きる姿を垣間見て,考えることの大切さを知った気がします。

あ,済みません。長々と...

uch*n*an  
No title

この花も昔どこかで見た気がしますが,名前は分かりません (^^;
>ムラサキカタバミに似た可愛い花ですね^^
そういう名前なんですか?

ヤドカリ  
No title

黒翼さん、コメントを有難う御座います。
uch*n*anさんのコメントの通りです。
使えない公式より考え方・解き方です。
このブログがお役に立てれば幸いです。

ヤドカリ  
No title

アキチャンさん、コメントを有難う御座います。
この花は1ヶ月ほど前に撮ったもので今はもう咲いていません。
雑草の中でよく見られるニワゼキショウという野草です。

ヤドカリ  
No title

いっちゃん、コメントとポチを有難う御座います。
上に書きましたが、ニワゼキショウです。山道でなく、空き地によく咲いています。
群生しますので美しいです。

ヤドカリ  
No title

uch*n*anさん、長いコメントを有難う御座います。
公式については、私も高校生時代は必要に応じて導きましたので、
仰ることはよく分かります。
ただ、このようにブログのように解答記事を書いていると、
公式を使うと説明しやすいので、有難いものです。

写真の花については、葉がカタバミとは違います。カタバミはハート形です。

uch*n*an  
No title

言われてみれば確かにそうですね。カタバミはクローバーに似た葉っぱだったと思います。
気になって,Webでムラサキカタバミを調べてみました。
可愛らしさは似ていても,花弁の数が違うなど,違う種類のようです。
となると,何ていう名前なのかなぁ...

ヤドカリ  
No title

uch*n*anさん、コメントを有難う御座います。
他の方へのコメントに書きましたので省略しましたが、ニワゼキショウです。