[答148] 材料が最も少ない枡

[答148] 材料が最も少ない枡


　図のように、厚さ 1cm の木の板で容積が 108cm³ の枡を作ります。

　枡を作る材木の体積が最小になるときの、その材木の体積は？

　枡に液を満たしたとき、液の部分も全体も正四角柱になるものとします。



[解答]

　正方形の口の一辺をｘcm, 枡の深さをｙcm, 枡自身の体積をＶcm³ とします。

　容積が 108cm³ だから、x²y＝108、

　また、V＝x²＋4(x＋1)(y＋1)＝x²＋4xy＋4(x＋y)＋4 になります。

　相加平均・相乗平均の関係により、

　 (x²＋2xy＋2xy)/3≧³√(x²･2xy･2xy)＝³√(4･108²)＝36、

　 よって、x²＋4xy≧108、等号はx＝2yのときに成り立つ。

　 (x＋x＋2y)/3≧³√(x･x･2y)＝³√(2･108)＝6、

　 よって、2x＋2y≧18、4(x＋y)≧36、等号はx＝2yのときに成り立つ。

　従って、V＝x²＋4xy＋4(x＋y)＋4≧108＋36＋4＝148 になります。

　V＝148 になるとき、x＝2y だから、2x²y＝216、x³＝216、x＝6，y＝3 です。

　正方形の口の一辺６cm、升の深さを３cm とすれば、木の部分の体積は　148cm³ で最小です。

☆ Vをxで表して微分しても構いませんが、相加平均・相乗平均の関係の方が早いです。


[一般化] uch*n*anさんのコメントより

　この問題は，直方体に一般化した方が見通しがよさそうですね。

　内側の底面の縦を x cm，横を y cm，深さを z cm として，xyz＝a(一定) とすると，

　材木の体積

　＝2(x＋1)(z＋1)＋2(y＋1)(z＋1)＋xy

　＝xy＋2xz＋2yz＋2x＋2y＋4z＋4

　≧3・³√(xy･2xz･2yz)＋3・³√(2x･2y･4z)＋4

　＝3・³√(2a)²＋6・³√(2a)＋4

　等号成立は x＝y＝2z＝³√(2a) のときです。

　式が，循環的になるので，相加相乗平均を連想しやすくなる気がします。

☆ a＝108 のとき、³√(2a)＝6 ですので、体積≧148，等号成立は x＝y＝2z＝6 のときです。


[直観的解答]

　口の部分を合わせて２つの枡をつけると、中空の部分は 216cm³ の直方体(正四角柱)になります。

　体積が一定の直方体の表面積を最小にするには立方体であることは容易に推測できます。

　正方形の口の一辺６cm、枡の深さは３cm のはずですね。

☆ 年貢を増やす目的で豊臣秀吉が枡の寸法を変えたそうですが、

　太閤検地より以前は、木材を最も節約できる、深さが口の一辺の 1/2 の枡を使っていたそうです。

　多分、この直観的解答と同様の考え方で、枡の長さの比をこのように決めたのだと私は思います。

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