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[答148] 材料が最も少ない枡

ヤドカリ

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[答148] 材料が最も少ない枡


 図のように、厚さ 1cm の木の板で容積が 108cm3 の枡を作ります。

 枡を作る材木の体積が最小になるときの、その材木の体積は?

 枡に液を満たしたとき、液の部分も全体も正四角柱になるものとします。



[解答]

 正方形の口の一辺をxcm, 枡の深さをycm, 枡自身の体積をVcm3 とします。

 容積が 108cm3 だから、x2y=108、

 また、V=x2+4(x+1)(y+1)=x2+4xy+4(x+y)+4 になります。

 相加平均・相乗平均の関係により、

  (x2+2xy+2xy)/3≧3√(x2・2xy・2xy)=3√(4・1082)=36、

  よって、x2+4xy≧108、等号はx=2yのときに成り立つ。

  (x+x+2y)/3≧3√(x・x・2y)=3√(2・108)=6、

  よって、2x+2y≧18、4(x+y)≧36、等号はx=2yのときに成り立つ。

 従って、V=x2+4xy+4(x+y)+4≧108+36+4=148 になります。

 V=148 になるとき、x=2y だから、2x2y=216、x3=216、x=6,y=3 です。

 正方形の口の一辺6cm、升の深さを3cm とすれば、木の部分の体積は 148cm3 で最小です。

☆ Vをxで表して微分しても構いませんが、相加平均・相乗平均の関係の方が早いです。


[一般化] uch*n*anさんのコメントより

 この問題は,直方体に一般化した方が見通しがよさそうですね。

 内側の底面の縦を x cm,横を y cm,深さを z cm として,xyz=a(一定) とすると,

 材木の体積

 =2(x+1)(z+1)+2(y+1)(z+1)+xy

 =xy+2xz+2yz+2x+2y+4z+4

 ≧3・3√(xy・2xz・2yz)+3・3√(2x・2y・4z)+4

 =3・3√(2a)2+6・3√(2a)+4

 等号成立は x=y=2z=3√(2a) のときです。

 式が,循環的になるので,相加相乗平均を連想しやすくなる気がします。

☆ a=108 のとき、3√(2a)=6 ですので、体積≧148,等号成立は x=y=2z=6 のときです。


[直観的解答]

 口の部分を合わせて2つの枡をつけると、中空の部分は 216cm3 の直方体(正四角柱)になります。

 体積が一定の直方体の表面積を最小にするには立方体であることは容易に推測できます。

 正方形の口の一辺6cm、枡の深さは3cm のはずですね。

☆ 年貢を増やす目的で豊臣秀吉が枡の寸法を変えたそうですが、

 太閤検地より以前は、木材を最も節約できる、深さが口の一辺の 1/2 の枡を使っていたそうです。

 多分、この直観的解答と同様の考え方で、枡の長さの比をこのように決めたのだと私は思います。

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Comments 14

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アキチャン  
No title

おはようございます。
ピンクのセキチク・・・満開でかわいいですね (o^-^o)

スモークマン  
No title

グーテンターク ^^
なるほど...♪
直感的解法に目覚めず...^^;...無念...

ニリンソウ  
No title

難しい問題解けないけど花なら解るわ!
セキチク、ナデシコの種類ですね。

uch*n*an  
No title

>容積が 500cm3 だから、x2y=108
容積が 108 cm^3 だから,かな?

tsuyoshik1942  
No title

直感的解法に気づけず!

何かあるはず!そしてそれらしきヒントが表示されていましたが気づけませんでした。自分は解いたのではなく”148”であることを確認しただけでした。

いっちゃん  
No title

こんにちは。ナデシコもたくさんの種類がありますね^^
可愛いです。。やっぱり大和撫子♪

ヤドカリ  
No title

アキチャンさん、コメントを有難う御座います。
セキチクっていうのですか。
私は撫子の園芸種という認識しかなかったので、名前を教えていただければ助かります。

ヤドカリ  
No title

crazy_tomboさん、コメントを有難う御座います。
「なるほど...♪」と思って頂けると解答解説のし甲斐があります。

ヤドカリ  
No title

ニリンソウさん、コメントを有難う御座います。
私は逆で、出題はできたけど花の名前が解らないことが多いです。
また教えて下さいね。

ヤドカリ  
No title

uch*n*anさん、ミスの指摘を有難う御座います。早速訂正しました。
最初 500cm^3 で考えたことが、ばれてしまったようです。

ヤドカリ  
No title

tsu*o*hi*194*さん、コメントを有難う御座います。
「何かあるはず!」が分からない間は落ち着かないものですね。

ヤドカリ  
No title

いっちゃん、コメントを有難う御座います。
私は今年はお目にかかっていませんが、野に咲くカワラナデシコが好きです。

黒翼  
No title

負け惜しみに聞こえそうですが,意外と簡単でしたね.(こんなこと言っては失礼ですが)

問題を見た瞬間にあきらめてしまいました.チャレンジ精神が必要ですね.

ヤドカリ  
No title

黒翼さん、コメントを有難う御座います。
問題を見て易しいか難しいかを判断できるにはある程度の力が必要です。
好き嫌いや得意不得意にも影響され、個人差もあります。