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[答155] 既約分数の和

ヤドカリ

ヤドカリ


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[答155] 既約分数の和


 分母が 2 ~ 10 の自然数である既約分数で、1より小さい正のものすべての和は?


[解答]

 一般に、n未満のnと互いに素な自然数の個数をφ(n)で表します。

 例えば、9未満で9と互いに素な自然数は、1,2,4,5,7,8 だから、φ(9)=6 です。

 分母が9の既約分数で、1より小さい正のものが、1/9,2/9,4/9,5/9,7/9,8/9 であるように、

 φ(n)は、分母がnの既約分数で、1より小さい正のものの個数と等しくなります。

 また、k/n が既約なら、1-k/n も既約ですので、全体の平均は 1/2 になります。

 個数は、φ(2)+φ(3)+φ(4)+φ(5)+φ(6)+φ(7)+φ(8)+φ(9)+φ(10)

   =1+2+2+4+2+6+4+6+4=31、

 よって、総和は、(1/2)×31=31/2 となります。

☆ 分母が 100 までなら 3043/2 、1000 までなら 304191/2 です。


[参考1] オイラー関数

 n未満のnと互いに素な自然数の個数をφ(n)をオイラー関数といいます。

 一般に、m,n が互いに素であれば、φ(mn)=φ(m)φ(n) です。

 また、nの全ての素因数を p,q,…… とすれば、

 φ(n)=n(1-1/p)(1-1/q)…… になります。


[参考2] ファレイ数列

 自然数nを指定し、

 分母がn以下の1未満の既約分数を小さい方から並べたものをファレイ数列といいます。

 この数列の最初に 0/1 を、最後に 1/1 を加えることもあります。

 例えば、n=6 のときのファレイ数列は、

 0/1, 1/6, 1/5, 1/4, 1/3, 2/5, 1/2, 3/5, 2/3, 3/4, 4/5, 5/6, 1/1

 です。

 0/1 ☆ 1/6, 1/5, 1/4 ☆ 1/3, 2/5 ☆ 1/2 ☆ 3/5, 2/3 ☆ 3/4, 4/5, 5/6 ☆ 1/1

 このうち、☆印の両側は分母の和が7であり、

 分子どうし・分母どうしを加えて出来る分数 1/7,2/7,3/7,4/7,5/7,6/7 を入れると、

 n=7 のときのファレイ数列になります。

 なお、

 ファレイ数列で a/b と c/d が隣り合っている場合、必ず、bc-ad=1 が成り立ちます。

 a/b と c/d の間に p/q を入れる場合、p=a+c,q=b+d ですが、

 a/b ,p/q ,c/d について、

 bp-aq=b(a+c)-a(b+d)=bc-ad 、qc-pd=(b+d)c-(a+c)d=bc-ad

 であり、

 n=1 のファレイ数列 0/1 ,1/1 が bc-ad=1 を満たすからです。
.

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Comments 13

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アキチャン  
No title

おはようございます。
元気な顔が見れました (o^-^o) ポチ♪

rosastone  
No title

おはようございます♪
この問題も、体当たり方式でもいけるので私にもなんとか解けましたが、
解答後半の「全体の平均が1/2になる」…ここが私には到底考えが及ばないところです。
勉強になりましたm(_ _)m

スモークマン  
No title

グーテンターク ^^
素敵な問題ですね♪
オイラー関数ってこういう風に使えるなんて...^^;v
k/n が既約なら 1-k/n も既約...この辺りがさすが!!
気付けないわたしとの埋められない差なんだわ...Orz~

uch*n*an  
No title

オイラー関数,ファレイ数列に関しては,Webで調べればいろいろあると思いますが,
あくまでもご参考として,恐縮ですが,私も参加しているサイトをご紹介しておきます。
http://www2.ocn.ne.jp/~mizuryu/renzoku.html
オイラー関数 第157回
ファレイ数列 第188回
なお,このサイトの第227回も興味深い話題です。

uch*n*an  
No title

また,解答解説から分かるように,一般には,
1/2 * Σ[k=2,n]{φ(k)}
の計算が必要になります。
残念ながら,この計算をうまく行う方法は,少なくとも私には,分からないのですが,
第227回の結果から,n が十分に大きいときには,
lim[n->∞]{(2 * Σ[k=1,n]{φ(k)} - 1)/n^2} = 6/π^2
Σ[k=1,n]{φ(k)} ~ 3n^2/π^2 + 1/2
通常は φ(1) = 1 と定義するので,
Σ[k=2,n]{φ(k)} = Σ[k=1,n]{φ(k)} - 1 ~ 3n^2/π^2 - 1/2 ~ 3n^2/π^2
がいえます。この問題では n = 10 なので,近似は悪いですが,
1/2 * Σ[k=2,n]{φ(k)} ~ 3n^2/π^2 * 1/2 ~ 15.198...
と,そこそこの値にはなるようです。

tsuyoshik1942  
No title

オイラは識らず!愚直に足し算を重ねました。

少しの工夫はしました。
1/8+2/8(=1/4)+3/8+4/8(=1/2)+5/8+6/8(=3/4)+7/8=(8*7/2)/8=3.5
1/9+2/9+3/9(=1/3)....8/9=(9*8/2)/9=4
1/10+2/10(=1/5)+....9/10=(10*9/2)/10=4.5 注意(5/10=1/2)
1/6+5/6=1
1/7+2/7+...6/7=(7*6/2)/7=3
3.5+4+(4.5-0.5)+1+3=15.5

いっちゃん  
No title

こんにちは。
このユリも咲いていたのですか?
花粉が服や手につくと落ちなくてたいへんです。

黄色って風水では縁起がいいですね^^ポチ

ヤドカリ  
No title

アキチャンさん、早速のコメントとポチを有難う御座います。
黄色の花は元気が出ます。

ヤドカリ  
No title

ローザさん、コメントを有難う御座います。
このような和を求める場合、数直線上に点をとっていくとどうなるかを考えます。
左右対称の場合、ど真ん中が平均になります。
単なる計算でなく、図をイメージすると見えてくるものがあります。

ヤドカリ  
No title

crazy_tomboさん、コメントを有難う御座います。
上記のローザさんへのコメント通りです。

ヤドカリ  
No title

uch*n*anさん、コメントとサイトのご紹介を有難う御座います。
時間ができたら訪れてゆっくり見たいと思います。
今はこのブログの維持で精一杯です。
Σφ(k)も興味あるテーマですが、難しそうで、解答ではプログラムを使いました。

なお、ファレイ数列の説明で書き忘れていたことがあり、追加しました。

ヤドカリ  
No title

tsu*o*hi*194*さん、コメントを有難う御座います。
「オイラはボイラ、ミウラのボイラ」のCMを思い出すコメントですね。

ヤドカリ  
No title

いっちゃん、コメントとポチを有難う御座います。
この百合は緑化センターで見たものです。
確かに百合の花粉は付くと大変ですね。
触らぬ百合に祟りなし or 飾る前に葯を取る ですね。