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[答156] 展開図が三角形である立体の体積

ヤドカリ

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[答156] 展開図が三角形である立体の体積


 展開図が、図のような3辺が 20,24,28 の三角形で、

 各辺の中点を結ぶ線分が折り目である四面体の体積は?


[解答]

 この四面体の3辺は 10,12,14 でねじれの位置にある辺の長さが等しいから、

 直方体の4隅を切り落としたものになります。

 切り落とす四面体1つの体積は、直方体の体積の 1/6 だから、

 求める四面体の体積は、直方体の体積の 1/3 になります。

 直方体の3辺を √x,√y,√z とすれば、

 y+z=100,z+x=144,x+y=196 となって、x+y+z=220 だから、x=120,y=76,z=24 。

 求める四面体の体積は、

 (1/3)√(120・76・24)=(1/3)√(24・5・2・2・19・24)=(24・2/3)√(5・19)=16√95 になります。


☆ 近似式 √(1+x)≒1+x/2 を使うと、

 16√95=160√(0.95)=160√(1-0.05)≒160(1-0.05/2)=156 です。

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Comments 8

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アキチャン  
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おはようございます。
今日のユリは、薄ピンクでさわやかです (o^-^o)ポチ♪

rosastone  
No title

この解答・解説、待ってました!
立体を組み合わすことも考えましたが、もう想像力の限界で…^^;

ヤドカリ  
No title

アキチャンさん、早速のコメントとポチを有難う御座います。
撮ってから薄ピンクの良さに気付きました。現物をもっとよく見たら良かったです。

ヤドカリ  
No title

ローザさん、コメントを有難う御座います。
「解答・解説、待ってました」のコメントが嬉しいです。
この方法なら、中学の範囲ですね。実際には難しいと思いますが。

tsuyoshik1942  
No title

きれいな解法ですね!
>この四面体の3辺は 10,12,14 でねじれの位置にある辺の長さが等しいから、
>直方体の4隅を切り落としたものになります。
・直方体の4隅を切り落として出来る三角錐の対辺は同じになる。は容易に理解(解を見ると)できますが、その逆が成り立つのは、常識ですか?

自分は展開図において垂心を求め、三角錐の高さを算出しました。

ヤドカリ  
No title

tsu*o*hi*194*さん、コメントを有難う御座います。
解答のように、3辺が √120,√76,√24 の直方体を切断すれば、
この四面体になるので問題ないでしょう。
また、ねじれの位置にある辺を含む平行な2平面を使って、平行六面体を外接させると、
各面の対角線の長さが等しいので、各面が長方形であるといってもいいのでは?

いっちゃん  
No title

こんばんは。
薄いピンクの色もすてきですね・・
歩く姿は・・このような花でありたいです。。笑
ポチ

ヤドカリ  
No title

いっちゃん、コメントとポチを有難う御座います。
いっちゃんの「歩く姿」ですか?
優雅でいいですねぇ。