[答157] 5乗数の下2桁
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[答157] 5乗数の下2桁
2以上の自然数を5乗したときの下2桁は、何通り? また、その総和は?
(2以上としたのは、5乗して2桁以上にするためです)
[解答]
a=0,1,2,3,4,5,6,7,8,9 として、自然数を 10k+a とします。
(10k+a)5=100000k5+50000k4a+10000k3a2+1000k2a3+50ka4+a5
だから、50ka4+a5 のみで判断することになります。
a=0,1,2,3,4,5,6,7,8,9 のとき、
a5 の下2桁は、
a=0,2,4,6,8 のとき、00,32,24,76,68、
a=1,3,5,7,9 のとき、01,43,25,07,49、
50ka4 の下2桁は、ka が偶数のときは 00, 奇数のときは 50。
従って、50ka4+a5 の下2桁は、
a=0,2,4,6,8 のとき、00,32,24,76,68、
a=1,3,5,7,9 のとき、01,43,25,07,49 と 51,93,75,57,99 。
以上、15 通りで、
その和は、 00+32+24+76+68+01+43+25+07+49+51+93+75+57+99=700 です。
なお、 (10k+a)5+(10k-a)5=200000k5+20000k3a2+100ka4 が、100の倍数だから、
00,50 以外の下2桁は、和が 100 になる相手が存在することになります。
5乗数の下2桁が 50 になることはないから、15 通りのうち、下2桁が 00 を除いて
14 通りは、2個ずつ和が 100 になるようにペアを作ることができますので、和は 700 です。
[参考]
この問題を下3桁で解けば、
一の位が0のとき 0 、一の位が5のとき 250n+125 (n=0,1,2,3)、
一の位が0以外の偶数のとき 200n+32, 200n+24, 200n+176, 200n+168 (n=0,1,2,3,4)、
一の位が5以外の奇数のとき 50n+1, 50n+43, 50n+7, 50n+49 (n=0,1,2,3,……,19)。
105 通りで、その和は 1000・(105-1)/2=52000 になります。
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