[答157] ５乗数の下２桁

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[答157] ５乗数の下２桁


　２以上の自然数を５乗したときの下２桁は、何通り？　また、その総和は？

　(２以上としたのは、５乗して２桁以上にするためです)


[解答]

　a＝0,1,2,3,4,5,6,7,8,9 として、自然数を 10k＋a とします。

　(10k＋a)⁵＝100000k⁵＋50000k⁴a＋10000k³a²＋1000k²a³＋50ka⁴＋a⁵

　だから、50ka⁴＋a⁵ のみで判断することになります。

　a＝0,1,2,3,4,5,6,7,8,9 のとき、

　a⁵ の下２桁は、

　 a＝0,2,4,6,8 のとき、00,32,24,76,68、

　 a＝1,3,5,7,9 のとき、01,43,25,07,49、

　50ka⁴ の下２桁は、ka が偶数のときは 00, 奇数のときは 50。

　従って、50ka⁴＋a⁵ の下２桁は、

　 a＝0,2,4,6,8 のとき、00,32,24,76,68、

　 a＝1,3,5,7,9 のとき、01,43,25,07,49 と 51,93,75,57,99 。

　以上、15 通りで、

　その和は、 00＋32＋24＋76＋68＋01＋43＋25＋07＋49＋51＋93＋75＋57＋99＝700 です。

　なお、　(10k＋a)⁵＋(10k－a)⁵＝200000k⁵＋20000k³a²＋100ka⁴　が、100の倍数だから、

　00，50 以外の下２桁は、和が 100 になる相手が存在することになります。

　５乗数の下２桁が 50 になることはないから、15 通りのうち、下２桁が 00 を除いて

　14 通りは、２個ずつ和が 100 になるようにペアを作ることができますので、和は 700 です。


[参考]

　この問題を下３桁で解けば、

　一の位が０のとき 0 、一の位が５のとき 250n＋125 (n＝0,1,2,3)、

　一の位が０以外の偶数のとき 200n＋32, 200n＋24, 200n＋176, 200n＋168 (n＝0,1,2,3,4)、

　一の位が５以外の奇数のとき 50n＋1, 50n＋43, 50n＋7, 50n＋49 (n＝0,1,2,3,……,19)。

　105 通りで、その和は 1000･(105－1)/2＝52000 になります。

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