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[答157] 5乗数の下2桁

ヤドカリ

ヤドカリ


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[答157] 5乗数の下2桁


 2以上の自然数を5乗したときの下2桁は、何通り? また、その総和は?

 (2以上としたのは、5乗して2桁以上にするためです)


[解答]

 a=0,1,2,3,4,5,6,7,8,9 として、自然数を 10k+a とします。

 (10k+a)5=100000k5+50000k4a+10000k3a2+1000k2a3+50ka4+a5

 だから、50ka4+a5 のみで判断することになります。

 a=0,1,2,3,4,5,6,7,8,9 のとき、

 a5 の下2桁は、

  a=0,2,4,6,8 のとき、00,32,24,76,68、

  a=1,3,5,7,9 のとき、01,43,25,07,49、

 50ka4 の下2桁は、ka が偶数のときは 00, 奇数のときは 50。

 従って、50ka4+a5 の下2桁は、

  a=0,2,4,6,8 のとき、00,32,24,76,68、

  a=1,3,5,7,9 のとき、01,43,25,07,49 と 51,93,75,57,99 。

 以上、15 通りで、

 その和は、 00+32+24+76+68+01+43+25+07+49+51+93+75+57+99=700 です。

 なお、 (10k+a)5+(10k-a)5=200000k5+20000k3a2+100ka4 が、100の倍数だから、

 00,50 以外の下2桁は、和が 100 になる相手が存在することになります。

 5乗数の下2桁が 50 になることはないから、15 通りのうち、下2桁が 00 を除いて

 14 通りは、2個ずつ和が 100 になるようにペアを作ることができますので、和は 700 です。


[参考]

 この問題を下3桁で解けば、

 一の位が0のとき 0 、一の位が5のとき 250n+125 (n=0,1,2,3)、

 一の位が0以外の偶数のとき 200n+32, 200n+24, 200n+176, 200n+168 (n=0,1,2,3,4)、

 一の位が5以外の奇数のとき 50n+1, 50n+43, 50n+7, 50n+49 (n=0,1,2,3,……,19)。

 105 通りで、その和は 1000・(105-1)/2=52000 になります。

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Comments 6

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アキチャン  
No title

おはようございます。
白いユリ・・・清楚でキレイです (o^-^o) ポチ♪

ヤドカリ  
No title

アキチャンさん、早速のコメントとポチを有難う御座います。
この百合は緑化センターで撮ったものですが、他の場所で撮ったのもあります。
そのうち、百合の記事を書きます。

黒翼  
No title

久しぶりのコメ失礼します.

今回の解説はすんなりと理解できました.ヤドカリさんの丁寧な解説のおかげです.

可能な限り問題には挑戦したいと思います.

ヤドカリ  
No title

黒翼さん、コメントを有難う御座います。
今回の問題は、具体的に考えるしかありませんので、難しくはないはずです。
あとは如何に能率よく解くかですね。

いっちゃん  
No title

おはようございます。。
カサブランカでしょうか。。
こんな暑い日は白い花の輝きがさわやかです。
大輪ですね。。ポチ

ヤドカリ  
No title

いっちゃん、コメントとポチを有難う御座います。
多分カサブランカです。緑化センターで見事に咲いており、撮りました。