[答159] 方程式の整数解
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[答159] 方程式の整数解
8/45=1/x+1/y , x≧y を満たす整数の組(x,y)=?
[解答1]
8/45=1/x+1/y より、8xy=45y+45x、82xy-8・45x-8・45y+452=452、
(8x-45)(8y-45)=452。
452=34・52 の約数は、
±1,±3,±9,±27,±81,±5,±15,±45,±135,±405,±25,±75,±225,±675,±2025、
このうち、45を加えて8の倍数になるのは、
3,27,75,675,-5,-45,-405 です。
また、8x-45≧8y-45 だから、
(8x-45,8y-45)=(675,3),(75,27),(-5,-405),(-45,-45)
従って、(x,y)=(90,6),(15,9),(5,-45),(0,0)
xy≠0 だから、(x,y)=(90,6),(15,9),(5,-45) となります。
[解答2]
1/y=8/45-1/x=(8x-45)/(45x)、y=45x/(8x-45)、同様に x=45y/(8y-45) になります。
x>0>y のときと、x≧y>0 のときに分けて考えます。
x>0>y のときは、
8/45=1/x+1/y より、8/45<1/x 、45/8>x 、x≦5 、x=1,2,3,4,5 、
y=45x/(8x-45) が整数になるのは、(x,y)=(5,-45) 。
x≧y>0 のときは、
8/45=1/x+1/y より、1/y<8/45≦2/y 、y≧45/8>y/2 、6≦y≦11 、y=6,7,8,9,10,11 、
x=45y/(8y-45) が整数になるのは、(x,y)=(90,6),(15,9) 。
合わせて、(x,y)=(90,6),(15,9),(5,-45) となります。
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