[答159] 方程式の整数解

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[答159] 方程式の整数解


　8/45＝1/x＋1/y ， x≧y を満たす整数の組(x，y)＝？


[解答1]

　8/45＝1/x＋1/y より、8xy＝45y＋45x、8²xy－8･45x－8･45y＋45²＝45²、

　(8x－45)(8y－45)＝45²。

　45²＝3⁴･5² の約数は、

　±1，±3，±9，±27，±81，±5，±15，±45，±135，±405，±25，±75，±225，±675，±2025、

　このうち、45を加えて8の倍数になるのは、

　3，27，75，675，－5，－45，－405 です。

　また、8x－45≧8y－45 だから、

　(8x－45，8y－45)＝(675，3)，(75，27)，(－5，－405)，(－45，－45)

　従って、(x，y)＝(90，6)，(15，9)，(5，－45)，(0，0)

　xy≠0 だから、(x，y)＝(90，6)，(15，9)，(5，－45) となります。


[解答2]

　1/y＝8/45－1/x＝(8x－45)/(45x)、y＝45x/(8x－45)、同様に x＝45y/(8y－45) になります。

　x＞0＞y のときと、x≧y＞0 のときに分けて考えます。

　x＞0＞y のときは、

　 8/45＝1/x＋1/y より、8/45＜1/x 、45/8＞x 、x≦5 、x＝1，2，3，4，5 、

　 y＝45x/(8x－45) が整数になるのは、(x，y)＝(5，－45) 。

　x≧y＞0 のときは、

　 8/45＝1/x＋1/y より、1/y＜8/45≦2/y 、y≧45/8＞y/2 、6≦y≦11 、y＝6，7，8，9，10，11 、

　 x＝45y/(8y－45) が整数になるのは、(x，y)＝(90，6)，(15，9) 。

　合わせて、(x，y)＝(90，6)，(15，9)，(5，－45) となります。

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