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[答159] 方程式の整数解

ヤドカリ

ヤドカリ


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[答159] 方程式の整数解


 8/45=1/x+1/y , x≧y を満たす整数の組(x,y)=?


[解答1]

 8/45=1/x+1/y より、8xy=45y+45x、82xy-8・45x-8・45y+452=452

 (8x-45)(8y-45)=452

 452=34・52 の約数は、

 ±1,±3,±9,±27,±81,±5,±15,±45,±135,±405,±25,±75,±225,±675,±2025、

 このうち、45を加えて8の倍数になるのは、

 3,27,75,675,-5,-45,-405 です。

 また、8x-45≧8y-45 だから、

 (8x-45,8y-45)=(675,3),(75,27),(-5,-405),(-45,-45)

 従って、(x,y)=(90,6),(15,9),(5,-45),(0,0)

 xy≠0 だから、(x,y)=(90,6),(15,9),(5,-45) となります。


[解答2]

 1/y=8/45-1/x=(8x-45)/(45x)、y=45x/(8x-45)、同様に x=45y/(8y-45) になります。

 x>0>y のときと、x≧y>0 のときに分けて考えます。

 x>0>y のときは、

  8/45=1/x+1/y より、8/45<1/x 、45/8>x 、x≦5 、x=1,2,3,4,5 、

  y=45x/(8x-45) が整数になるのは、(x,y)=(5,-45) 。

 x≧y>0 のときは、

  8/45=1/x+1/y より、1/y<8/45≦2/y 、y≧45/8>y/2 、6≦y≦11 、y=6,7,8,9,10,11 、

  x=45y/(8y-45) が整数になるのは、(x,y)=(90,6),(15,9) 。

 合わせて、(x,y)=(90,6),(15,9),(5,-45) となります。

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Comments 10

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アキチャン  
No title

おはようございます。
スイレン・・・まだ咲いていますね (o^-^o) ポチ♪

uch*n*an  
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私は,最初から,x >= y > 0 又は x > 0 > y で考えましたが,
最初の解法が,最大公約数を考えたものの,[解答1]と考え方はほぼ同じ,
二番目は[解答2]と同じ,でした。
[解答1]も考えましたが,45^2 = 2025 の約数の個数が多く面倒そうな気がして止めました。
しかし,8 の倍数で絞れば,大して大変ではなかったんですね。
式が x,y について対称なので,この解法,式変形,は,自然な気がします。

ヤドカリ  
No title

アキチャンさん、早速のコメントとポチを有難う御座います。
スイレンは所々に咲いています。この睡蓮は浜寺公園で撮りました。

ヤドカリ  
No title

uch*n*anさん、コメントを有難う御座います。
分子も分母もそんなに大きな数でないので、
45/8=5.625 だから、8/45=1/6+?, 8/45=1/5-?
から考えていけばななんとかなりそうです。
私の[解答2]の発想は、ここからです。

いっちゃん  
No title

こんばんは。
雨にぬれたスイレンすてきですね^^
淡い色はなおさらです。やどかりさん地区も暑いですか?
ポチ

ヤドカリ  
No title

いっちゃん、コメントとポチを有難う御座います。
今日は「大暑」です。
こちらも正直暑いです。ひたすら暑いです。ただただ暑いです。

黒翼  
No title

なるほど,納得しました.

ヤドカリ  
No title

黒翼さん、コメントを有難う御座います。
整数の問題は、条件をどれだけ絞れるかで、計算量がかなり違ってきます。
納得いただいたようで、嬉しいです。

rosastone  
No title

15と9だけは分かったのですが、法則が分からず、きりがないと思ってやめました…(^^;)。。。

ヤドカリ  
No title

ローザさん、コメントを有難う御座います。
15と9だけでも、分かったら素晴らしいです。
エジプト文明では、2/3 以外は、分子が1の分数(単位分数)しか使いませんでした。
それを問題化しました。