FC2ブログ

Welcome to my blog

[答160] 八角形の対角線でできる線分の本数

ヤドカリ

ヤドカリ



[答160] 八角形の対角線でできる線分の本数


 図のように、3本以上の対角線が1点で交わらない凸六角形があります。

 対角線の交点が 15 個あり、

 この 15 個の点ですべての対角線を切断すると、対角線は全部で 39 本に分けられます。

 3本以上の対角線が1点で交わらない凸八角形であれば、

 対角線は全部で何本に分けられるでしょうか?


[解答]

 下記のように、凸n角形では、n(n-3)(n2-3n+8)/12 本です。

 n=8 のときは、8・5・48/12=160 本です。


[凸n角形の解法1]

 凸n角形の頂点のうち4個を選んで交差するように2点ずつを結ぶと対角線の交点が1個できるから、

 対角線の交点は全部で、n4=n(n-1)(n-2)(n-3)/24 個あります。

 対角線の交点から出る線分は4本ずつ、n角形の頂点から出る線分は(n-3)本ずつです。

 また、1本の線分は、対角線の交点やn角形の頂点を2個つないで出来ています。

 従って、その本数は、

 {4n(n-1)(n-2)(n-3)/24+n(n-3)}/2

  ={n(n-1)(n-2)(n-3)+6n(n-3)}/12

  =n(n-3)(n2-3n+8)/12 。


[凸n角形の解法2]

 凸n角形の頂点のうち2個を選んで結ぶと、n本の辺と対角線になるから、

 対角線は全部で、n2-n=n(n-3)/2 本あります。

 対角線の交点は全部で、n4=n(n-1)(n-2)(n-3)/24 個ありますが、

 この交点で2本の対角線を1ヶ所ずつ切断することになります。

 従って、その本数は、

 n(n-3)/2+2・n(n-1)(n-2)(n-3)/24

  ={6n(n-3)+n(n-1)(n-2)(n-3)}/12

  =n(n-3)(n2-3n+8)/12 。

.

スポンサーサイト



Comments 11

There are no comments yet.
アキチャン  
No title

おはようございます。
白いキョウチクトウ・・・まぶしそうですね (o^-^o)
ポチ♪

tsuyoshik1942  
No title

対角線の交点の数=nC4
これ自体がどのように算出されたのか?わかりません。
対角線の数=n*(n-3)/2は理解できますが、「nC2-n」も??

tsuyoshik1942  
No title


解答の中に、上記の説明があるのですね!失礼いたしました。
「nC2-n]は理解できたのですが、「nC4]は?

ヤドカリ  
No title

アキチャンさん、早速のコメントとポチを有難う御座います。
キョウチクトウやサルスベリは夏の花、知らなければ清々しいのですが……。

ヤドカリ  
No title

tsu*o*hi*194*さん、コメントを有難う御座います。
実は、貴殿のコメントを見て、先ほど解答に加筆しました。
当初、解答の中に「nC4」「nC2-n」の理由の説明はありませんでした。
リコメが遅れて申し訳ありません。
対角線の交点の数=nC4 については、解法1をご覧下さい。

黒翼  
No title

僕は解法2でした.

しかし,忙しくて解法のコメができませんでした.

ここで,こんなことを書いても言い訳にしか聞こえませんね.すみません.

ヤドカリ  
No title

黒翼さん、コメントを有難う御座います。
コメントは簡単なもので結構ですよ。

いっちゃん  
No title

白い花はやっぱりすてき。
きれいな花には・・ってほんとですね^^
ポチ

ヤドカリ  
No title

いっちゃん、コメントとポチを有難う御座います。
どの種類の花でも、いっちゃんは白が好きなのですね。
いっちゃんにも・・のですか?

いっちゃん  
No title

やどかりさんにも・・・ですか?

私は弱いです。というより無毒です。笑

ヤドカリ  
No title

いっちゃん、コメントを有難う御座います。
実は「毒がある」「トゲがある」のどちらか分からなかったので、
・・でリコメしました。「毒」だったのですね。