[答160] 八角形の対角線でできる線分の本数

[答160] 八角形の対角線でできる線分の本数


　図のように、３本以上の対角線が１点で交わらない凸六角形があります。

　対角線の交点が 15 個あり、

　この 15 個の点ですべての対角線を切断すると、対角線は全部で 39 本に分けられます。

　３本以上の対角線が１点で交わらない凸八角形であれば、

　対角線は全部で何本に分けられるでしょうか？


[解答]

　下記のように、凸ｎ角形では、n(n－3)(n²－3n＋8)/12 本です。

　n＝8 のときは、8･5･48/12＝160 本です。


[凸ｎ角形の解法1]

　凸ｎ角形の頂点のうち４個を選んで交差するように２点ずつを結ぶと対角線の交点が１個できるから、

　対角線の交点は全部で、_nＣ₄＝n(n－1)(n－2)(n－3)/24 個あります。

　対角線の交点から出る線分は４本ずつ、ｎ角形の頂点から出る線分は(n－3)本ずつです。

　また、１本の線分は、対角線の交点やｎ角形の頂点を２個つないで出来ています。

　従って、その本数は、

　{4n(n－1)(n－2)(n－3)/24＋n(n－3)}/2

　 ＝{n(n－1)(n－2)(n－3)＋6n(n－3)}/12

　 ＝n(n－3)(n²－3n＋8)/12 。


[凸ｎ角形の解法2]

　凸ｎ角形の頂点のうち２個を選んで結ぶと、ｎ本の辺と対角線になるから、

　対角線は全部で、_nＣ₂－n＝n(n－3)/2 本あります。

　対角線の交点は全部で、_nＣ₄＝n(n－1)(n－2)(n－3)/24 個ありますが、

　この交点で２本の対角線を１ヶ所ずつ切断することになります。

　従って、その本数は、

　n(n－3)/2＋2･n(n－1)(n－2)(n－3)/24

　 ＝{6n(n－3)＋n(n－1)(n－2)(n－3)}/12

　 ＝n(n－3)(n²－3n＋8)/12 。

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