[答160] 八角形の対角線でできる線分の本数
[答160] 八角形の対角線でできる線分の本数
図のように、3本以上の対角線が1点で交わらない凸六角形があります。
対角線の交点が 15 個あり、
この 15 個の点ですべての対角線を切断すると、対角線は全部で 39 本に分けられます。
3本以上の対角線が1点で交わらない凸八角形であれば、
対角線は全部で何本に分けられるでしょうか?
[解答]
下記のように、凸n角形では、n(n-3)(n2-3n+8)/12 本です。
n=8 のときは、8・5・48/12=160 本です。
[凸n角形の解法1]
凸n角形の頂点のうち4個を選んで交差するように2点ずつを結ぶと対角線の交点が1個できるから、
対角線の交点は全部で、nC4=n(n-1)(n-2)(n-3)/24 個あります。
対角線の交点から出る線分は4本ずつ、n角形の頂点から出る線分は(n-3)本ずつです。
また、1本の線分は、対角線の交点やn角形の頂点を2個つないで出来ています。
従って、その本数は、
{4n(n-1)(n-2)(n-3)/24+n(n-3)}/2
={n(n-1)(n-2)(n-3)+6n(n-3)}/12
=n(n-3)(n2-3n+8)/12 。
[凸n角形の解法2]
凸n角形の頂点のうち2個を選んで結ぶと、n本の辺と対角線になるから、
対角線は全部で、nC2-n=n(n-3)/2 本あります。
対角線の交点は全部で、nC4=n(n-1)(n-2)(n-3)/24 個ありますが、
この交点で2本の対角線を1ヶ所ずつ切断することになります。
従って、その本数は、
n(n-3)/2+2・n(n-1)(n-2)(n-3)/24
={6n(n-3)+n(n-1)(n-2)(n-3)}/12
=n(n-3)(n2-3n+8)/12 。
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