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[答162] 四角柱の表面積

ヤドカリ

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[答162] 四角柱の表面積


 長さが 6,9 の対角線が垂直に交わる四角形を底面とする、直四角柱に球が内接しているとき、

 この四角柱の表面積は?


[解答1]

 多面体に内接する球が存在する場合、体積Vは、表面積Sと球の半径rを使って、

 V=(1/3)Sr と表されます。

 また、四角柱とみると高さが 2r だから、V=(1/2)・6・9・2r です。

 よって、(1/3)Sr=(1/2)・6・9・2r 、S=3・(1/2)・6・9・2=162 になります。


[解答2]

 球の半径をr,底面の四角形の辺をa,b,c,d,面積をSとすると、

 S=(a+b+c+d)r/2 になります。

 よって、表面積は、

 2S+(a+b+c+d)・2r=2S+4S=6S=6・(6・9/2)=162 となります。


☆ 球が内接するような角柱の表面積は底面積の6倍であることが分かります。

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Comments 13

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アキチャン  
No title

おはようございます。
またまた、変わった色ですネ (o^-^o) ポチ♪

スモークマン  
No title

グーテンモルゲン ^^
円に接する四角柱なら...
どの面の面積からもその6倍になるのですね...?
三角柱なら...5倍?
四角錐なら...4倍?
になるんだろうなぁ...

スモークマン  
No title


嘘っぽいな...Orz...^^;
とい面が平行な面で挟まれてるときのその面積での話においてのみか...?

再出発  
No title

こんにちわ。
こんな計算をさせるはずがないと思いながら
計算してたら泥沼に・・・
[解答1]はすっきり過ぎてまだよく分かりませんが、
[解答2]はすっきりしていて分かりやすく、気がつかなければいけませんでした。
楽しませてもらいました。

uch*n*an  
No title

私は,最初うっかりして特殊な場合を解いてしまい,それを一般化して[解答2]でした。
[解答1]もありましたね。これの二次元版は,内接円の半径を求めるのによくやります。

tsuyoshik1942  
No title

V=(1/3)Sr

どこからこんな公式を!と最初思いましたが、ふと思うに
球に外接する多面体の各頂点と球の中心を結べば、多面体の面の数だけ角錐が出来、それらの個々の体積は全て(面積*球の半径)→多面体の体積=(表面積*r)/3なのですね!

球に外接する円錐に関し同じ説明が前にあったような気がしますが、そのときは読み流しました。

ヤドカリ  
No title

アキチャンさん、早速のコメントとポチを有難う御座います。
睡蓮を続けましたが、私はこの色にいちばん魅かれました。

ヤドカリ  
No title

crazy_tomboさん、コメントを有難う御座います。
角柱だったら何角柱でも6倍です。
角錐はよくわかりません。角錐の頂点と底面の位置関係を決めるだけでも大変です。

ヤドカリ  
No title

再出発さん、コメントを有難う御座います。
私のブログのコメントの 6000番目でした。
貴殿なら正解をよせてくれると思っていたのですが……。

ヤドカリ  
No title

uch*n*anさん、コメントを有難う御座います。
側面積が4倍になることをこの問題を作るまで気づいていませんでした。
作問で勉強になりました。

ヤドカリ  
No title

tsu*o*hi*194*さん、コメントを有難う御座います。
同じネタを何回も使わないと問題作りが中々です。

いっちゃん  
No title

こんばんは。
淡い色の睡蓮、とてもきれいでしす。
ふたつ並んで咲いてる姿っていいですね^^ポチ

ヤドカリ  
No title

いっちゃん、コメントとポチを有難う御座います。
この睡蓮がいちばん魅力的でした。