[答1789] ３元連立方程式

[答1789] ３元連立方程式


　x²－yz＝217 ，y²－zx＝217 ，z²－xy＝217 ，x≧y≧z をすべて満たす整数の組(x，y，z)＝？


[解答1]

　x²－yz＝217 ……(1) ，y²－zx＝217 ……(2) ，z²－xy＝217 ……(3) とします。

　(1)＋(2)＋(3) より {(x－z)²＋(x－y)²＋(y－z)²}/2＝217･3 、

　2(x－z)²＋2(x－y)²＋2(y－z)²＝217･12 、2(x－z)²＋(x－y＋y－z)²＋(x－y－y＋z)²＝217･12 、

　3(x－z)²＋(x－2y＋z)²＝217･12 、x－2y＋z は３の倍数だから、x－2y＋z＝3k とおけば、

　3(x－z)²＋(3k)²＝217･12 、(x－z)²＋3k²＝217･4＝868 です。

　ここで、x－z＋3k＝2x－2y だから、0≦x－z＋3k≦2x－2z 、－x＋z≦3k≦x－z 、

　9k²≦(x－z)² 、12k²≦(x－z)²＋3k²＝217･4 、k²≦217/3 、|k|≦8 です。

　(x－z，k)＝(29，3)，(29，－3)，(26，8)，(26，－8) 、

　(x－z，x－y)＝(x－z，(x－z＋3k)/2)＝(29，19)，(29，10)，(26，25)，(26，1) 、

　(1)－(2) より (x＋y)(x－y)＋z(x－y)＝0 、(x＋y＋z)(x－y)＝0 、

　x－y≠0 だから、x＋y＋z＝0 です。

　x－z＋x－y＝x－z＋x－y＋x＋y＋z＝3x だから、x＝(x－z＋x－y)/3 、

　(x－z，x－y，x)＝(29，19，16)，(29，10，13)，(26，25，17)，(26，1，9) 、

　(x，y，z)＝(16，－3，－13)，(13，3，－16)，(17，－8，－9)，(9，8，－17) です。


[解答2]

　x²－yz＝217 ……(1) ，y²－zx＝217 ……(2) ，z²－xy＝217 ……(3) とします。

　(1)－(2) より (x＋y)(x－y)＋z(x－y)＝0 、(x＋y＋z)(x－y)＝0 、

　(2)－(3) より (y＋z)(y－z)＋x(y－z)＝0 、(x＋y＋z)(y－z)＝0 だから、

　x＋y＋z≠0 であれば、x＝y＝z となり、(1)を満たしません。よって、x＋y＋z＝0 です。

　(1)＋(2)＋(3) より x²＋y²＋z²－(yz＋zx＋xy)＝651 、(x＋y＋z)²－3(yz＋zx＋xy)＝651 、

　yz＋zx＋xy＝－217 、x²＋y²＋z²＋217＝651 、x²＋y²＋z²＝434 です。

　2x²＋2y²＋2z²＝868 、2x²＋(y＋z)²＋(y－z)²＝868 、2x²＋(－x)²＋(y－z)²＝868 、

　3x²＋(y－z)²＝868 、y－z＝y－z＋(x＋y＋z)＝x＋2y≦3x 、0≦y－z≦3x だから、

　868＝3x²＋(y－z)²≦3x²＋(3x)²＝12x² 、217≦3x²≦868 、217/3≦x²≦868/3 、9≦x≦17 、

　(x，y－z)＝(9，25)，(13，19)，(16，10)，(17，1) 、

　(x，－2z)＝(x，x＋y－z)＝(9，34)，(13，32)，(16，26)，(17，18) 、

　(x，z)＝(9，－17)，(13，－16)，(16，－13)，(17，－9) 、

　(x，y，z)＝(9，8，－17)，(13，3，－16)，(16，－3，－13)，(17，－8，－9) です。


[解答3]

　x²－yz＝217 ……(1) ，y²－zx＝217 ……(2) ，z²－xy＝217 ……(3) とします。

　(1)－(2) より (x＋y)(x－y)＋z(x－y)＝0 、(x＋y＋z)(x－y)＝0 、

　(2)－(3) より (y＋z)(y－z)＋x(y－z)＝0 、(x＋y＋z)(y－z)＝0 だから、

　x＋y＋z≠0 であれば、x＝y＝z となり、(1)を満たしません。よって、x＋y＋z＝0 です。

　x≧y≧0 のとき、(3)より、(－x－y)²－xy＝217 、x²＋xy＋y²＝217 です。

　3x²≧x²＋xy＋y²＝217 だから、217/3≦x²≦217 、9≦x≦14 であり、

　4x²＋4xy＋4y²＝868 、3x²＋(x＋2y)²＝868 、(x，x＋2y)＝(9，25)，(13，19) 、

　(x，y)＝(9，8)，(13，3) です。

　0≧y≧z のとき、(1)より、(－y－z)²－yz＝217 ，z²＋zy＋y²＝217 、

　|z|²＋|z||y|＋|y|²＝217 より、同様に、(|z|，|y|)＝(9，8)，(13，3) 、

　(z，y)＝(－9，－8)，(－13，－3) です。

　x＋y＋z＝0 に注意してまとめると、

　(x，y，z)＝(9，8，－17)，(13，3，－16)，(17，－8，－9)，(16，－3，－13) です。


[解答4]

　x²－yz＝217 ……(1) ，y²－zx＝217 ……(2) ，z²－xy＝217 ……(3) とします。

　(1)－(2) より (x＋y)(x－y)＋z(x－y)＝0 、(x＋y＋z)(x－y)＝0 、

　(2)－(3) より (y＋z)(y－z)＋x(y－z)＝0 、(x＋y＋z)(y－z)＝0 だから、

　x＋y＋z≠0 であれば、x＝y＝z となり、(1)を満たしません。よって、x＋y＋z＝0 です。

　－z＝x＋y を (1)に代入し、x²＋y(x＋y)＝217 、2x²＋2xy＋y²＝434 、

　x²＋y²＋(x＋y)²＝434 、x²＋y²＋z²＝434 、

　434を３個の平方数の和で表せば、

　20²＋5²＋3²＝19²＋8²＋3²＝17²＋12²＋1²＝17²＋9²＋8²＝16²＋13²＋3²＝13²＋12²＋11² 、

　x＋y＋z＝0 に注意して、考えられるのは、

　(x，y，z)＝(17，－8，－9)，(9，8，－17)，(16，－3，－13)，(13，3，－16) で、

　いずれも (1)(2)(3)を満たします。

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