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[答164] 三角比の計算

ヤドカリ

ヤドカリ


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[答164] 三角比の計算


 cos12゚・cos24゚・cos36゚・cos48゚・cos72゚・cos84゚=?


[解答1] ふじもさんの解答より (説明を追加しています)

 1辺の長さが1の正五角形の対角線の長さは、2cos36゚=(√5+1)/2

 cos36゚=(√5+1)/4

 cos72゚=2cos236゚-1=(√5+1)2/8-1=(√5-1)/4

 cos48゚・cos12゚=(1/2)(cos60゚+cos36゚)=(3+√5)/8

 cos84゚・cos24゚=(1/2)(cos60゚-cos72゚)=(3-√5)/8

 この4個の式を掛けると、

 (√5+1)(√5-1)(3+√5)(3-√5)/(4・4・8・8)=1/64 となります。


[解答2] uch*n*anさんの解答より

 V=cos12゚・cos24゚・cos36゚・cos48゚・cos72゚・cos84゚ とおくと、

 V=2・(-cos120゚)・(-cos168゚)・cos24゚・(-cos144゚)・cos48゚・cos72゚・(-cos96゚)

  =2・cos24゚・cos48゚・cos72゚・cos96゚・cos120゚・cos144゚・cos168゚

 a=cos24゚+i・sin24゚ とすると、a15=1 また、

 z15-1=(z-1)(z-a1)(z-a2)……(z-a13)(z-a14)

  cos24゚=(a1+a14)/2 より (z-a1)(z-a14)=z2-2(cos24゚)z+1

  cos48゚=(a2+a13)/2 より (z-a2)(z-a13)=z2-2(cos48゚)z+1

  …………

  cos168゚=(a7+a8)/2 より (z-a7)(z-a8)=z2-2(cos168゚)z+1

 z15-1=(z-1){z2-2(cos24゚)z+1}{z2-2(cos48゚)z+1}……{z2-2(cos168゚)z+1}

 ここで、z=i を代入すると、

 -i-1=(i-1)・64i・V 、-i-1=(-1-i)・64V 、V=1/64 となります。



[解答3] uch*n*anさんの解答より

 V=cos12゚・cos24゚・cos36゚・cos48゚・cos72゚・cos84゚ とおくと、

 V・sin12゚・sin36゚=(sin12゚・cos12゚・cos24゚・cos48゚・cos84゚)(sin36゚・cos36゚・cos72゚)

    =(1/4)(sin24゚・cos24゚・cos48゚・cos84゚)(sin72゚・cos72゚)

    =(1/16)(sin48゚・cos48゚・cos84゚)・sin144゚

    =(1/32)(sin96゚・cos84゚)・sin36゚=(1/32)(sin84゚・cos84゚)・sin36゚

    =(1/64)・sin168゚・sin36゚=(1/64)・sin12゚・sin36゚

 よって、V=1/64 となります。


[解答4]

 V=cos12゚・cos24゚・cos36゚・cos48゚・cos72゚・cos84゚ とおくと、

 V=2・(-cos120゚)・(-cos168゚)・cos24゚・(-cos144゚)・cos48゚・cos72゚・(-cos96゚)

  =2・cos24゚・cos48゚・cos72゚・cos96゚・cos120゚・cos144゚・cos168゚

 θ=24゚,48゚,96゚,120゚,168゚ のとき、cos5θ=-1/2 を満たします。

  16cos5θ-20cos3θ+5cosθ=-1/2

  cos24゚,cos48゚,cos96゚,cos120゚,cos168゚ は 32x5-40x3+10x+1=0 の解で、

  すべて異なるから、その積は、解と係数の関係により、-1/32 、

 θ=72゚,144゚ のとき、cos5θ=1 を満たします。

  16cos5θ-20cos3θ+5cosθ=1

  cos72゚,cos144゚ は 16x5-20x3+5x-1=0 の解、

  (x-1)(4x2+2x-1)2=0 の解、4x2+2x-1=0 の解で、

  その積は、解と係数の関係により、-1/4 、

 従って、V=2(-1/32)(-1/4)=1/64 となります。


[解答5]

 sin2θ=2sinθcosθ より、2cosθ=(sin2θ)/(sinθ) となります。

  2cos12゚=(sin24゚)/(sin12゚)

  2cos24゚=(sin48゚)/(sin24゚)

  2cos36゚=(sin72゚)/(sin36゚)

  2cos48゚=(sin96゚)/(sin48゚)=(sin84゚)/(sin48゚)

  2cos72゚=(sin144゚)/(sin72゚)=(sin36゚)/(sin72゚)

  2cos84゚=(sin168゚)/(sin84゚)=(sin12゚)/(sin84゚)

 この6個の式を掛けて、64・cos12゚・cos24゚・cos36゚・cos48゚・cos72゚・cos84゚=1

 cos12゚・cos24゚・cos36゚・cos48゚・cos72゚・cos84゚=1/64 になります。

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Comments 9

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いっちゃん  
No title

うわぁ~~いっぱい咲きましたね^^
まだたくさんつぼみがあります。早起きは3文の得ですね^^
やどかりさんちの朝顔ですか?ポチ

ヤドカリ  
No title

いっちゃん、コメントとポチを有難う御座います。
このアサガオは散歩中に撮ったものです。
そういえば、長いこと朝顔を植えていません。

アキチャン  
No title

ほんと きれいですネ (o^-^o)
ウチでは毎年 ひとりばえが出てきますが、今年は見てません。。
ここで可愛いのが見れました♪ ポチ♪

uch*n*an  
No title

この問題はいろいろと楽しめました (^^;
[解答1]は,cos(36°) はよく出てくるし,着実でよい解法だと思います。
[解答3]と[解答5]は,表現は違いますが,実質同じ。
ちょっと手品のような解法ですが,気付けば,この二つが計算は楽でしょうね。
また,[解答2]で,z^15 - 1 = (z^5 - 1)((z^5)^2 + z^5 + 1) = 0,と考えると,
z^5 - 1 = 0, z^5 = 1
又は
(z^5)^2 + z^5 + 1 = 0, z^5 = - 1/2 ± i * √3/2
ここで,z = cosθ + i * sinθ とおくと,
ド・モアブルの定理より,z^5 = cos(5θ) + i * sin(5θ) なので,
cos(5θ) = 1 又は cos(5θ) = - 1/2
となって,[解答4]になります。
私が高校の頃は複素数をかなりやったこと,式の対称性,5 倍角は覚えていない (^^;,
などの理由から,私には,[解答4]よりも[解答2]の方が楽でしたが,
ここらは,個人差がありそうです。

スモークマン  
No title

>uch*n*anさんへ ^^
そっか...!!
5倍角って...チェビシェフの式も覚えられないし...2倍と3倍角を使って延々出さなきゃいけないのかと思ってたんですが...ド・モアブル...ど忘れしてました ^^;v
解放4を熟読し直さなくっちゃ...♪

uch*n*an  
No title

私も最近は朝顔を蒔いていませんが,
子供の頃は,毎年蒔いて,毎年種を取って,さらに翌年蒔いて,などしたものです。
確か,オンブバッタとかいうバッタがどこからともなく出てきて,
朝顔の葉を食べてフンをするので,困ったものです。
オスメスなのか?,親子なのか?,大きいバッタが小さいバッタをオンブしているのが,
何となく,可愛らしくもあったりしました。
どうということもない話ですが,私には,懐かしい夏の思い出の一つです。

ヤドカリ  
No title

アキチャンさん、早速のコメントとポチを有難う御座います。
「ITの歴史と未来」の記事にあった、透き通るような撮り方はできませんでしたが、
うまく光があたりました。

ヤドカリ  
No title

uch*n*anさん、コメントを有難う御座います。
私は[解答5]しか用意していなかったのですが、貴殿の解答をみて、追加させて頂きました。
cos(kπ/(2n+1)) を k=1~n を掛けると、2^(-n) になります。
このことは、[解答5]のように解くと簡単に分かります。
この問題は、n=7 のときの cos(π/3) を除いたものです。

朝顔についての思い出を有難う御座います。
私も小学生の時、何年か育てた記憶があります。
その後は何年も経って、子供が小学校低学年の時です。
そういえば、オンブバッタ、永らく見ていません。
大きいのが♀、小さいのが♂、と、記憶しています。

ヤドカリ  
No title

crazy_tomboさん、コメントを有難う御座います。
仰る通り、ド・モアブルで展開して実部と虚部を比較すればわかりますね。
5倍角(一般に 4n+1)は sin,cos ともに同じ式になります。