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[答165] 2本の接線を引ける点

ヤドカリ

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[答165] 2本の接線を引ける点


 点(4,a)から曲線 y=x3-2x+9 に接線を引くとき、

 引ける接線が2本だけであるときのaの値は?


[解答1]

 y=x3-2x+9 より、y'=3x2-2 だから、

 接点を(t,t3-2t+9)とすれば、

 接線は、y=(3t2-2)(x-t)+t3-2t+9、

 これが、点(4,a)を通るから、a=(3t2-2)(4-t)+t3-2t+9、

 簡単にして、a=-2t3+12t2+1、

 これが、2種類の実数 t について成り立てばよいので、

 t についてのこの3次方程式が異なる2つの実数解をもつようにaを定めることになります。

 f(t)=-2t3+12t2+1 とおくと、

 aがこの3次関数の極値であればよいことになります。

 f'(t)=-6t2+24t=-6t(t-4) だから、

 極小値は f(0)=1、極大値は f(4)=65 となって、a=1,65 。


[解答2]

 y=x3-2x+9 と y=m(x-4)+a の接点のx座標をtとします。

 x3-2x+9=m(x-4)+a は重解tともう1つの解uをとるものとすると、

 x3-(m+2)x+4m+9-a=0 も解が t,t,u だから、解と係数の関係より、

 2t+u=0,t2+2tu=-m-2,t2u=-4m-9+a となります。

 u,m を消去して、2t3-12t2+a-1=0、

 これが、2種類の実数 t について成り立てばよいので、

 t についてのこの3次方程式が異なる2つの実数解をもつようにaを定めることになります。

 重解をp,他の解をq とすると、解と係数の関係より、

 2p+q=6,p2+2pq=0,p2q=(-a+1)/2 となります。

 最初の2式より、(p,q)=(0,6),(4,-2) で、

 最後の式より、a=-2p2q+1 だから、a=1,65 となります。


[参考1]

 接線の式は、いずれの場合も t=0,4 のときで、 y=-2x+9, y=46x-119 です。


[参考2]

 ある点Pから3次関数のグラフGへ引いた接線の本数について

 Gの変曲点での接線をHとすると、G,Hによって座標平面が4つの領域に分けられます。

 Pが変曲点を除くG,H上の点である場合は2本、

 Pが4つの領域のうち左右(G,Hの両方より左または右)にある場合は3本、

 Pが4つの領域のうち上下(G,Hの両方より上または下)にある場合と変曲点の場合は1本、

 となります。

 本題では、Gが y=x3-2x+9 、Hが y=-2x+9 だから、

 P(4,a)がG,H上の点である場合は、a=65,1 となります。

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Comments 2

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uch*n*an  
No title

もちろん,やどかりさんは気付いているはず(私も鍵コメで書いたし。)ですが,
ひょっとしたら気付いていない人がいるかもしれないので,念のため。
>t についてのこの3次方程式が異なる2つの実数解をもつようにaを定めることになります。
の辺りは,今回は3次方程式,つまり,3次関数への接線なので問題ありませんが,
4次以上の関数への接線を考える場合には,
一本の接線が二つ以上の異なる接点をもつ可能性もある,つまり,
接点の個数と接線の本数が一致するとは限らない,ので,注意が必要ですね。
なお,[参考2]は,グラフをイメージすれば,直感的にも了解できると思います。

ヤドカリ  
No title

uch*n*anさん、コメントを有難う御座います。
4次関数では2点で接する直線はあっても1本だけですが、
それでもかなり複雑です。5次いじょうだと計算も複雑で、考える気がしません。