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[答167] 穴が重ならない確率

ヤドカリ

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[答167] 穴が重ならない確率


 図のように16個の正方形が書かれたピンクと水色の折り紙があり、

 この正方形のうちの2つずつを切り取って(白い部分のような)穴をあけます。

 2枚の折り紙をどのように重ねても穴が重ならない確率は?

 折り紙を重ねるときは、回転しても裏返しにしてもかまいませんが、

 四隅が合うようにぴったりと重ねるものとします。

 また、どの正方形についても等確率で穴をあけるものとします。


[解答]

 まず、穴の開け方は、( 16C2 )2=14400 通りです。

 正方形を下の図のように、A,B,C と区別します。

 2枚の折り紙の同じ記号の部分に穴をあけると、穴が重なる場合があります。

 ピンクの紙の穴がAの2ヶ所の場合、水色の紙の穴はA以外の2ヶ所、

   4C212C2=6・66=4・99 通り、

 ピンクの紙の穴がBの2ヶ所の場合、水色の紙の穴はB以外の2ヶ所、

   4C212C2=6・66=4・99 通り、

 ピンクの紙の穴がCの2ヶ所の場合、水色の紙の穴はC以外の2ヶ所、

   8C28C2=28・28=4・196 通り、

 ピンクの紙の穴がA,Bの1ヶ所ずつの場合、水色の紙の穴はCの2ヶ所、

   4・4・8C2=4・4・28=4・112 通り、

 ピンクの紙の穴がA,Cの1ヶ所ずつの場合、水色の紙の穴はBの2ヶ所、

   4・8・4C2=4・8・6=4・48 通り、

 ピンクの紙の穴がB,Cの1ヶ所ずつの場合、水色の紙の穴はAの2ヶ所、

   4・8・4C2=4・8・6=4・48 通り、

 求める確率は、4(99+99+196+112+48+48)/14400=301/1800 となります。

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