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[答168] 展開式の項と係数

ヤドカリ

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[答168] 展開式の項と係数


 (a+b+c+d+e+f+g)5-(a5+b5+c5+d5+e5+f5+g5)

 を展開して得られる文字式について、項の数は?  また、すべての項の係数の和は?


[解答1]

 項の数は文字だけに着目して、a,b,c,d,e,f,g のうち、重複を許して5個を選べばよい。

 ただし、a5 ~ g5 は除かれるので、 75-7=462-7=455 項です。

 係数の和はすべての文字に1を代入すればよいから、75-7=16800 です。


[解答2] uch*n*anさんの面倒を承知の方法

 (a+b+c+d+e+f+g)5 の各項は,aA・bB・cC・dD・eE・fF・gG

 ただし,A ~ G ≧0,A+B+C+D+E+F+G=5, という形をしています。

 そして,項数は解の個数に,係数は A ~ G の重複順列です。

 そこで,与式は,

   4,1,0,0,0,0,0 の場合,項数 7P2=42,係数 5!/4!1!=5
   3,2,0,0,0,0,0 の場合,項数 7P2=42,係数 5!/3!2!=10
   3,1,1,0,0,0,0 の場合,項数 7・6C2=105,係数 5!/3!1!1!=20
   2,2,1,0,0,0,0 の場合,項数 7・6C2=105,係数 5!/2!2!1!=30
   2,1,1,1,0,0,0 の場合,項数 7・6C3=140,係数 5!/2!1!1!1!=60
   1,1,1,1,1,0,0 の場合,項数 7C5=21,係数 5!/1!1!1!1=120

 全体では,

 項数=42+42+105+105+140+21=455

 係数の和=42・5+42・10+105・20+105・30+140・60+21・120

  =210+420+2100+3150+8400+2520=16800

 になります。

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Comments 10

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uch*n*an  
No title

[解答2]は,確認も兼ねてやりました。まぁ,いろいろ考えるのも楽しいし (^^;

tsuyoshik1942  
No title

皆さん、解答「1」なのかな?
自分は、最初全く手が出ず、多項定理をひも解き、苦労しながら「2」の手法にたどり着き、やっと16800を得ました。
その解答を送信する直前、7^5がひらめきました。そして
7^5-7=16800を確認したときは感激しました。
自分のひらめきに多少酔っていたのですが!!

アキチャン  
No title

こんにちわ。
可愛い色のグラジオラスですね (o^-^o) ポチ♪

黒翼  
No title

なるほど.

失礼ながら,この問題は僕でも解けたような気がします.(単なる自惚れかもしれませんが…)

挑戦すればよかったです.

ヤドカリ  
No title

uch*n*anさん、コメントを有難う御座います。
無意識にこの方法を避けた私の思考には「穴」があります。

ヤドカリ  
No title

tsu*o*hi*194*さん、コメントを有難う御座います。
苦労して解くほど後に活かせます。ひらめきは大切ですね。

ヤドカリ  
No title

アキチャンさん、コメントとポチを有難う御座います。
グラジオラスって、いろんな色があって楽しいです。
それぞれにネーミングがあるのかどうかは存じませんが、あってもいいですね。

ヤドカリ  
No title

黒翼さん、コメントを有難う御座います。
失礼ではありません。解けそうかどうかを見分けるのも能力です。

いっちゃん  
No title

こんにちは。
可愛い色ですね。花はこんなにすてきなのに「小さな剣」と云う意味があるそうな。。ポチとね。♪

ヤドカリ  
No title

いっちゃん、コメントとポチを有難う御座います。
グラジオラスって、そんな意味があるのですか?
でも、もう少しグラジオラスを続ける心算です。