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[答16] 9倍すると逆順になる数

ヤドカリ

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[答16] 9倍すると逆順になる数

 1089×9=9801 と、1089は9倍すると数字が逆に並びます。

 このような数を13桁まで記すと以下のようになります。

 《4桁》1089  《5桁》10989 《6桁》109989 《7桁》1099989 《8桁》10891089,10999989
 《9桁》108901089,109999989 《10桁》1098910989,1089001089,1099999989
 《11桁》10989010989,10890001089,10999999989
 《12桁》108910891089,109989109989,109890010989,108900001089,109999999989
 《13桁》1089109891089,1099890109989,1098900010989,1089000001089,1099999999989

 このように、1089,10989,109989,1099989,… を組み合わせた数になります。

 では、9倍すると逆順になる20桁の数はいくつあるでしょうか?


☆ このような数は、

 1089×1=1089, 1089×2=2178, 1089×3=3267, 1089×4=4356, 1089×5=5445
 1089×9=9801, 1089×8=8712, 1089×7=7623, 1089×6=6534, 1089×5=5445

 のように、×2と×8, ×3と×7, ×4と×6 も逆順になります。×5は回文数です。



[解答]

 前半部を書き出すと後半部は決まります。前半部は、

 《4,5桁》10 《6,7桁》109 《8,9桁》1089,1099
 《10,11桁》10989,10890,10999 《12,13桁》108910,109989,109890,108900,109999

 規則:[10],[9]の次は[89]または[9]、[89],[0]の次は[10]または[0]

 [10]で始めこの規則で前半部が作られることが分かります。

 12,13桁の場合は、8,9桁のものに上の規則どおり10か89を、

 10,11桁のものに上の規則どおり0か9を付けたものになり、2+3=5個です。

 同様に、14,15桁の場合は、3+5=8個、16,17桁の場合は、5+8=13個、

 18,19桁の場合は、8+13=21個、20,21桁の場合は、13+21=34個です。

 2n,2n+1桁の個数をF(n)とすると、F(n+2)=F(n)+F(n+1)で、

 これは、フィボナッチ数列です。


☆ 後半部は、[10]⇔[89],[0]⇔[0],[9]⇔[9]で逆から作ります。

 奇数桁の場合はこの規則で中央の数字[9]または[0]を挟みます。

 このような数だけであることは、https://okayadokary.blog.fc2.com/blog-entry-47.html

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