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[答169] 二等辺三角形の面積の割合

ヤドカリ

ヤドカリ



[答169] 二等辺三角形の面積の割合


 3辺の長さがすべて自然数で BC>CA,∠C=90°である直角三角形ABC の 辺BC上に点Dをとって、

 二等辺三角形ABDを作ります。

 二等辺三角形ABDの面積が、直角三角形ABCの面積の 99%以上になるとき、

 斜辺AB の長さ として考えられる最小の値は?


[解答]

 BC=a,CA=b,AB=c,DC=x とすれば、b<a です。

 BD2=AD2=DC2+CA2 より、

 (a-x)2=x2+b2

 これより、x=(a2-b2)/(2a)≦a/100 だから、

 49a2≦50b2、7a≦(√50)b となります。

 次に、

 b2=c2-a2=(c+a)(c-a) だから、

 c+a と c-a の最大公約数 g と互いに素な自然数 m,n を使って、

 c+a=m2g, c-a=n2g と表されます。

 このとき、c=(m2+n2)g/2, a=(m2-n2)g/2, b=mng になり、

 m/n=t とおけば、a=(t2-1)n2g/2, b=tn2g になります。

 b<a より、tn2g<(t2-1)n2g/2 、

  t2-2t>1 、(t-1)2>2 、t>1+√2 です。

 7a≦(√50)b より、7(t2-1)n2g/2≦(√50)tn2g 、

   7t2-2(√50)t≦7 、49t2-14(√50)t≦49 、

   (7t-√50)2≦99 、7t≦√99+√50 、t≦(√99+√50)/7 です。

 したがって、1+√2<t≦(√99+√50)/7 、n(1+√2)<m≦n(√99+√50)/7 になります。

   n=5 のとき、 12.071…<m≦12.157… より自然数mは存在しない。

   n=6 のとき、 14.485…<m≦14.589… より自然数mは存在しない。

   n=7 のとき、 16.899…<m≦17.020… 、m=17 。

   n=8 のとき、 19.313…<m≦19.452… より自然数mは存在しない。

 従って、c=(m2+n2)g/2 が最小になるのは、

 n=7,m=17,g=1 のときで、c=169 (a=120,b=119) になります。

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Comments 9

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黒翼  
No title

問題を見たときは,簡単に解けると思ってしまいましたが,すぐに挫折しました.

結構大変なステップを踏みますね.このような問題が解けるようになりたいです.

アキチャン  
No title

おはようございます。
ポーチュラカ・・・また、今キレイに咲いてますよね (o^-^o)
ポチ♪

uch*n*an  
No title

[解答]ではピタゴラス数の式も導いていますが,
なるほど,こうすれば,a,b の式が入れ替わった場合は自然と考えなくて済みますね。
いずれにせよなかなか面倒ではあるわけですが,
ペル方程式による解法を示さなかったのは,偶然解けたっぽい,予備知識が必要,
などの理由によるのでしょうか。

uch*n*an  
No title

なお,邪道かもしれませんが,この問題はプログラムがはるかに楽です。
十進ベーシックで,

FOR b = 1 TO 1000
FOR a = b+1 TO 5/7 * SQR(2) * b
LET c = SQR(a^2 + b^2)
IF c = INT(c) THEN
PRINT c; a; b
END IF
NEXT a
NEXT b
END

169 120 119
338 240 238
507 360 357
676 480 476
845 600 595
985 697 696
1014 720 714
1183 840 833
1352 960 952

最初の 169 が答えです。

ヤドカリ  
No title

黒翼さん、コメントを有難う御座います。
整数比の直角三角形などの予備知識がないと思いつきにくい問題です。

ヤドカリ  
No title

アキチャンさん、コメントとポチを有難う御座います。
この花は、何色かあって、沢山かたまって咲いていると美しいですね。

ヤドカリ  
No title

uch*n*anさん、コメントを有難う御座います。
ペル方程式による解法を示さなかったのは、
これを最初から説明すると、かなりの説明が必要になるからです。
仰る通り「偶然解けた」感が否めないのも理由です。

ところで、プログラムは、aとbが互いに素な場合だけで十分ですね。

いっちゃん  
No title

こんばんは~
夏の暑さにも負けず可愛い花を咲かせてくれますね。
これに似たまつばぼたん、実家にたくさん咲いていました。
ポチ

あ!それからコメントのカウント分かりました。
私が知らなかっただけでした。><

ヤドカリ  
No title

いっちゃん、コメントとポチを有難う御座います。
マツバボタンと花の大きさや葉が違いますが、
かたまって沢山咲いている花は、美しさを増しますね。