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[答170] 正三角形の個数

ヤドカリ

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[答170] 正三角形の個数


 1辺が1の正三角形を敷き詰めて1辺が8の正三角形を作った図の中にある正三角形の総数は?


[解答1]

 右上図は各頂点をいちばん上の頂点とする△の個数を書きこんだもので、

 △の個数は、8・1+7・2+6・3+5・4+4・5+3・6+2・7+1・8=120 個、

 左下図は各頂点をいちばん下の頂点とする▽の個数を書きこんだもので、

 ▽の個数は、4・1+3・5+2・9+1・13=50 個 です。

 合わせて、170 個になります。

☆ △の個数だけなら、1,2,3,4,5,6,7,8 から重複を許して3個を選び大きい方から並べます。

 例えば、7,5,4 を選んだら、右下図のように、Aから左下に7の点をBとし、

 Bから右に5の点をCとし、Cから左上に4の点Dをとって、

 CDを1辺とする正三角形を作れますので、83=120 個です。

 ▽の個数は、△の辺の長さが偶数のときに、3辺の中点3個を結べばいいので、

 選ぶ3数のうち最小のものが偶数の場合になります。式1つでは答が出ません。


[解答2]

 1辺が1の△は、1+2+3+4+5+6+7+8=36 個、

 1辺が2の△と1辺が1の▽は、1+2+3+4+5+6+7=28 個ずつ、

 1辺が3の△は、1+2+3+4+5+6=21 個、

 1辺が4の△と1辺が2の▽は、1+2+3+4+5=15 個ずつ、

 1辺が5の△は、1+2+3+4=10 個、

 1辺が6の△と1辺が3の▽は、1+2+3=6 個ずつ、

 1辺が7の△は、1+2=3 個、

 1辺が8の△と1辺が4の▽は、1 個ずつ、

 よって、(36+28+21+15+10+6+3+1)+(28+15+6+1)=170 個になります。


[参考]

 一般に、敷き詰めて1辺がnの正三角形を作った場合、

 1辺がkの▽は1辺が2kの△と同数ですので、

 1辺が奇数の△の個数をA,1辺が偶数の△の個数をBとして、A+2B を求めることになります。

 A+B=n3=n(n+1)(n+2)/6 になります。

 右上図は各頂点をいちばん上の頂点とする△の個数を書きこんだものですが、

 奇数が書きこんである頂点は、1辺が奇数の△が1辺が偶数の△より1個多く、

 偶数が書きこんである頂点は、1辺が奇数の△と1辺が偶数の△が同数です。

 従って、

 nが偶数のとき、A-B=n+(n-2)+…+4+2=n(n+2)/4 、

 nが奇数のとき、A-B=n+(n-2)+…+3+1=(n+1)2/4 、

 となります。

 まとめて計算するために、

 A-B=n(n+2)/4+2α (nが偶数のときα=0,nが奇数のときα=1/8) としておきます。

 A+2B=3(A+B)/2-(A-B)/2=n(n+1)(n+2)/4-n(n+2)/8-α

   =n(n+2){2(n+1)-1}/8-α=n(n+2)(2n+1)/8-α

   =[n(n+2)(2n+1)/8]
.

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Comments 10

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黒翼  
No title

僕の解答とは違い,とても鮮やかです.

最後の1辺がnのときの式は,参考になります.

アキチャン  
No title

おはようございます。
赤いお花・・・きれいですね~~ポチ♪

uch*n*an  
No title

まぁ,一生懸命数えても何とかなる問題ですが,その割には味のある問題だと思います。
個人的には,△の個数が,H 又は C 一発で求められることを発見したのが収穫でした。

ヤドカリ  
No title

黒翼さん、コメントを有難う御座います。
問題を解く時に常に「もっといい解法は?」と考えると、力がつきますし、楽しいです。

ヤドカリ  
No title

アキチャンさん、コメントとポチを有難う御座います。
パイナップル科のアナナス・ファシャータです。
最近、名前を知りました。

ヤドカリ  
No title

uch*n*anさん、コメントを有難う御座います。
私も出題して、△の個数がH一発で求められることを見つけました。

ニリンソウ  
No title

今日の花は洋物で、鉢の花。
パイナップル科のアナナス・ファシャータ> って言うんですね
真っ赤な花の形が三角形とあってる!
ポチ。

いっちゃん  
No title

こんばんは。
鮮やかな色の花ですね。真っ赤な太陽みたい^^
パイナップルの香りがしそう♪
ポチ

ヤドカリ  
No title

ニリンソウさん、コメントとポチを有難う御座います。
花の形が三角形とあってる!って偶然です。

ヤドカリ  
No title

いっちゃん、コメントとポチを有難う御座います。
ほんとうに色鮮やかです。次のは違う色を使います。