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[答172] 直線による平面の分割

ヤドカリ

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[答172] 直線による平面の分割


 図のように、3本の直線で平面は最大7つに分割されます。

 では、18本の直線で平面を分割すると最大何個?

 最大個数は、どの2本の直線も平行でなく、どの3本の直線も1点で交わらない場合です。


[解答1]

 右の図は4本目の直線を引いたら、分割の個数が4個増えることを示しています。

 一般に、n本目の直線を引くと、分割の個数はn個増えます。

 もともと平面が1つありますので、

 1+(1+2+3+4+……+18)=1+18・19/2=172 個です。


[解答2]

 右の図は4本目の直線を引いたら、分割の個数が4個増えることを示しています。

 同時に直線が1本、交点が3個の合計4個増えます。

 もともと平面が1つで、直線と交点の数は0ですので、

 平面の分割の個数は、1+直線の数+交点の数になります。

 従って、1+18+182=172 個です。


☆ 一般に、n本の直線で平面は最大 (n2+n+2)/2 個に分割されます。

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Comments 10

There are no comments yet.
アキチャン  
No title

おはようございます。
ムクゲ・・・八重ですネ (o^-^o) 淡い色でいいですネ♪ ポチ♪

ヤドカリ  
No title

アキチャンさん、早速のコメントとポチを有難う御座います。
ムクゲ・ピンクデライトと名札がありました。
本当に、薄紅色もいいです。

スモークマン  
No title

グーテンアーベント ^^
解法2にすぐ気付けなかったです...^^;...
球面でも同じですよね...^^

ヤドカリ  
No title

crazy_tomboさん、コメントを有難う御座います。
[解法2]は第163問でも紹介しました。
球面でも同じかどうか……、いずれ出題しようと思います。
球面の場合は、直線の代わりに大円になりますが、考えておいて下さいね。

黒翼  
No title

この問題はすぐに解けました.

n本目の直線が,n個の面を分割する事に気づいたので,階差数列を使って解きました.解法で言うと,1に近いですかね.

答の172は問題番号に合わせたのだろうとも思いましたので,正解を確信しました.(本当はいけないことですが・・・)

いっちゃん  
No title

こんばんは。
八重の花って豪華ですね。でも薄桃色がとっても清楚で
すてきだなぁと思います。イメージは初恋かな。。笑
ポチ

ヤドカリ  
No title

黒翼さん、コメントを有難う御座います。
この問題は、基本かつ重要な問題と思います。応用するといろいろな問題が解けます。

ヤドカリ  
No title

いっちゃん、コメントとポチを有難う御座います。
いっちゃんの初恋は、淡いピンクのイメージですか?
こころにかすかに残る恋だったのでしょうね。

こっこちゃん  
No title

八重の ムクゲ 素敵ですね

淡い 色で 好きな いろです~~ ポチッ

花火の記事 画像が出なくて失礼しました~~
yahuuの 精かな”笑 再度来てもらうと嬉しい~~です。ポチッ

ヤドカリ  
No title

こっこちゃんさん、コメントとポチを有難う御座います。
再度訪問し、花火を見せて頂きました。
大きな音が聞こえてきそうです。