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[答175] 五角形内の三角形の面積の割合

ヤドカリ

ヤドカリ



[答175] 五角形内の三角形の面積の割合


 円に内接する五角形ABCDEがあって、AB=AE=3,BC=CD=DE=2 であるとき、

 △BCDの面積は五角形ABCDEの面積の何倍?


[解答1]

 Eの代わりに、AF=2,FD=3 となるように円周上にFをとると、

 △ADE≡△DAF だから、五角形ABCDEの代わりに五角形ABCDFで考えます。

 DA=AC=CF=x,BD=y とおくと、

 トレミーの定理より、AD・CF=FD・AC+AF・CD、x2=3x+4、これを解くと、x=4。

 トレミーの定理より、AC・BD=BC・AD+AB・CD、4y=2・4+6、y=7/2。

 △BCD:△ABD=BC・CD:AB・AD=4:12=1:3、△ABD:△ADF=BD:AF=7/2:2=7:4、

 よって、△BCD:△ABD:△ADF=7:21:12、

 △BCD/五角形ABCDF=7/(7+21+12)=7/40 となります。


[解答2] ふじもさんの解答より

 ACとBDの交点をPとすると、

 ∠ABP=弧AEの円周角+弧EDの円周角=弧ABの円周角+弧CDの円周角=∠APB

 よって△ABPは二等辺三角形で、AP=3

 △ACD∽△DCPより、AC:DC=CD:CP 、(3+CP):2=2:CP 、CP=1

 よって、△ABP∽△DCPより、DP=2, BP=3/2 (以下省略)

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Comments 18

There are no comments yet.
黒翼  
No title

五角形ABCDFとすると,解きやすいですね.

この解法は思いつきませんでした.まだまだ頭が硬いようなので,ヤドカリさんの問題で頭を柔らかくしていきたいと思います.

スモークマン  
No title

そっか~♪
わたしの頭はカタクチイワシ...^^;
完敗でした...^^;;;

いっちゃん  
No title

こんにちは。
昨日はオレンジのカルサイトで元気を頂き、
今日はオレンジのハイビスでますます元気になりました。どうしましょう^^山歩き出来そうです♪ポチ

uch*n*an  
No title

なるほど。凝った工夫なしに相似だけでできる[解答2]は見事ですね。勉強になります。

ヤドカリ  
No title

黒翼さん、早速のコメントを有難う御座います。
順番の入れ替えは何度か問題にしています。
時間があれば他の問題もみて下さいね。

ヤドカリ  
No title

crazy_tomboさん、コメントを有難う御座います。
柔軟な思考で大幅に簡単になる問題がなかなか見つかりません。
この問題は「大幅に」とまでいかないのが難点です。

ヤドカリ  
No title

いっちゃん、コメントとポチを有難う御座います。
偶然にカルサイトに似た色になりました。
オレンジ色は元気をもらう色ですね。

ヤドカリ  
No title

uch*n*anさん、コメントを有難う御座います。
[解答2]は盲点でした。
辺の順序を変える方法が脳裏にくっついているもので……。

黒翼  
No title

>時間があれば他の問題も見て下さい

はい,そうしていきたいと思っています.ヤドカリさんの問題はどれも大変勉強になります.

ヤドカリ  
No title

黒翼さん、コメントを有難う御座います。
私は1つでも役立ってくれれば嬉しいです。

ふじも  
No title

解答を紹介して頂きありがとうございます。

私もいろいろ考えた結果、[解答2]を得ました。
[解答1]の発想は私の能力を超えています。後でゆっくり鑑賞させてもらいます。

[解答2]のポイントは「アルハゼンの定理」だと思います。
この定理自体を証明するのはとても簡単で、それ故「取るに足らない定理」や
「定理にすら至らない」と見なされているように感じます。

しかしこの定理が、この問題で役に立ってくれました。

それと、uch*n*anさんにお褒めの言葉を頂き光栄です。

ヤドカリ  
No title

ふじもさん、コメントを有難う御座います。
「アルハゼンの定理」という名前は知りませんでした。
なんとなく使っていました。勉強になります。
次に使う機会があっても、定理の名前を覚えている自信がありませんが……。

古い人  
No title

燃えるようなオレンジですね。

此の色のように燃えて見たいね私はもう燃えカスですわ。ポチ。

アキチャン  
No title

おはようございます。
お日様に向かって元気がいい ハイビスカスですね (o^-^o)
ポチ♪

uch*n*an  
No title

ふじもさん
>[解答2]のポイントは「アルハゼンの定理」だと思います。
やどかりさん
>「アルハゼンの定理」という名前は知りませんでした。
私も知りませんでした。言われてみれば当たり前だけど,結構気付かない気もします。
いろいろありがとうございます。

ヤドカリ  
No title

古い人さん、コメントとポチを有難う御座います。
ご謙遜を!
ブログ開設以来ほとんど毎日のように記事を書かれている方を、
私は「燃えカス」とは認識できません。

ヤドカリ  
No title

アキチャンさん、コメントとポチを有難う御座います。
このハイビスカスの下に映っているのは、長い植物園のコンクリートの通路です。
上を向いて「撮ってくれ~」と言っているように思えたのですが、
お日様の方を向いていたのですね。

ヤドカリ  
No title

uch*n*anさん、コメントを有難う御座います。
内容を知っていて、名前を知らない定理ってあるものですね。