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[18] 常用対数の小数部分

ヤドカリ

ヤドカリ








[18] 常用対数の小数部分


 N=11,12,13,……,99、対数が常用対数(底が10の対数)を意味するとき、

 2・logN の小数部分が最小になる自然数Nは?


★ 解答説明は こちら です。

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Comments 17

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ヤドカリ  
No title

> 2009/9/19(土) 午後 9:31 の鍵コメ様
「=23.36」の部分は明らかに違います。

ヤドカリ  
No title

> wind156様
鍵コメの解答、正解です。

ヤドカリ  
No title

> wind156様
鍵コメの解き方、その通り間違いありません。
ただ、もう少し楽に計算できます。

ヤドカリ  
No title

> crazy_tombo様
鍵コメの解答、正解です。もう少しすっきり解いてほしいなぁ。

ヤドカリ  
No title

解答を示します。
2・logN=logN² となるから、
2・log11=log121=2+log1.21,…, 2・log31=log961=2+log9.61,
2・log32=log1024=3+log1.024,…, 2・log99=log9801=3+log9.801
だから、N=32 のとき最小ですね。

常用対数では、整数部分に指標、小数部分に仮数という特別な名前があります。
よく、1≦A<10 として、A×10^n という形で大きな(or 小さな)数を表します。
log(A×10^n)=n+logA, 0≦logA<1 だから、
仮数と数の並びが対応し、その対応を表にしたのが、常用対数表です。
また、n>0 のとき、A×10^n は(n+1)桁ですので、指標で真数の桁が分かります。

uchinyan  
No title

ちなみに,N を 10^(n-1) を除く n 桁の数として,
2 * logN の小数部分が最小になる N を a(n) とすると,
a(n)/10^(n-1) は,n を大きくするとどうなると思いますか?
この問題では,a(2) = 32 なので,a(2)/10^(2-1) = 32/10 = 3.2 ですね。

ヤドカリ  
No title

a(n)/10^(n-1) は,n を大きくすると、明らかに√10に収束すると思うのですが、何か深い意味でも?

スモークマン  
No title

>uchinyanさんの問題...^^
a(n)=10^((n+1)/2) にほぼ近いので...
a(n)/10^(n-1)=10^((n+1)/2-(n-1))=10^((3-n)/2)=1/(10^(n-3)/2)
からすると...0になる?

ヤドカリ  
No title

> crazy_tomboさんへ^^
a(n)=[10^(n-1/2)]+1 です。

スモークマン  
No title

>やどかりさんへ ^^
(n-1)/2+1=(n+1)/2
a(n)=[10^(n+1)/2]+1
じゃないのかなあ...^^;?
間違ってますかね...

ヤドカリ  
No title

> crazy_tomboさんへ^^
a(n))=[10^(n-1)*√10]+1=[10^(n-1/2)]+1 です。

uchinyan  
No title

もちろん,√10 に上から近づきます。
やどかりさんは,出題者なんだから,まぁ,できて当たり前でしょう (^^;
むしろ,このことに触れられなかったのが不思議だったのと,
他の皆さんは気付いているのかな,と思って,コメントしました。

ヤドカリ  
No title

uchinyanさん、
最初、logN と 3・logN の小数部分を比べるなど別のことを考えていたのですが、
易しくした結果がこの問題です。
n桁への一般化は端から考えていませんでした。

スモークマン  
No title

そうか...グラフの傾きから...
logN=(n-1)+1/2 が最小だから...
N=10^(n-1)+(1/2)
=10^(n-1/2)
a(n)=[N]+1
=[10^(n-1/2)]+1
わたしの考えは...たまたま...1<n-1<2だったからだけなんだってわかりました...^^; Orz...

uchinyan  
No title

どうも,出題のご趣旨とは異なるコメントをしてしまったようで,失礼しました m(__)m

ヤドカリ  
No title

いえいえ, 仮数と真数の関係にばかり気持ちがいっていました。
端から考えていなかったことというのは、指摘されないと気付きません。

ヤドカリ  
No title

細かいことを言うと、
a(n)=[10^(n-1/2)]+1 であることは、
10*{10^(n-1)+1}^2>{[10^(n-1/2)]+1}^2
を示さなければなりません。
左辺=10^(2n-1)+2*10^n+10
右辺<{10^(n-1/2)+1}^2=10^(2n-1)+2*10^(n-1/2)+1
ということで成り立ちます。