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[答178] 直角三角形の辺の比

ヤドカリ

ヤドカリ



[答178] 直角三角形の辺の比


 ∠C=90゚ の直角三角形ABCがあって、BCと内接円の半径の比が 5:1 のとき、AB:AC=?


[解答1]

 下図のように点の名前を決めて、右図のような方眼に直角二等辺三角形PQRを描きます。

 △IBD∽△QPS, ∠IBD+∠IAE=45゚ より、△IAE∽△RPT、

 よって、IE:EA=RT:TP=3:5、ID:DB=1:4=3:12 です。

 AB:AC=(AF+FB):(AE+EC)=(AE+BD):(AE+ID)=(5+12):(5+3)=17:8 です。


[解答2~5]

 内接円の半径をrとすると、BC=5r、

 2△ABC=(BC+AC+AB)r=BC・AC を5倍して、

 (BC+AC+AB)BC=5BC・AC 、AB+BC=4AC……(a) です。

 ∠ABCの二等分線とACの交点をPとすると、PC=(5/4)r=5r/4=BC/4 、

 また、AP:PC=AB:BC より、(AP+PC):PC=(AB+BC):BC 、AC:BC/4=(AB+BC):BC 、

 4AC:BC=(AB+BC):BC となって、AB+BC=4AC……(a) になります。

 三平方の定理より、AB2-BC2=AC2 だから、

 (AB+BC)(AB-BC)=AC2 、4AC(AB-BC)=AC2 、AB-BC=AC/4……(b) です。

 2r=BC+AC-AB を5倍して、2BC=5BC+5AC-5AB 、5AB-3BC=5AC……(c) です。

 (a)と(b)(c)のどちらかを組み合わせて BCを消去すると、8AB=17AC 、AB:AC=17:8 です。

 (a)の求め方が2通りあって(b)(c)のどちらかを組み合わせるから、4通りの解法になります。


[解答6]

 内接円の半径をr,AE=AF=x とすると、CE=CD=r,BD=BF=4r になります。

 三平方の定理より、AB2-AC2=BC2 だから、

 (AB-AC)(AB+AC)=BC2 、3r(2x+5r)=25r2 、3x=5r で、

 AB:AC=(x+4r):(x+r)=(3x+12r):(3x+3r)=(5r+12r):(5r+3r)=17:8 です。


[解答7]

 三角比を使うと簡単です。

 tan(θ/2)=t とすると、sinθ=2t/(1+t2),cosθ=(1-t2)/(1+t2),tanθ=2t/(1-t2)

 という公式があります。

 本題の場合、tan(B/2)=1/4 で、AB/AC=1/sinB={1+(1/4)2}/{2(1/4)}=17/8 だから、

 AB:AC=17:8 です。

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Comments 14

There are no comments yet.
アキチャン  
No title

おはようございます。
まだまだ綺麗な百日紅!! (o^-^o) ポチ♪

いっちゃん  
No title

きれいなピンク色ですね。。
青空に映えますね。更新時間が555です。
今日から一週間GO,GO,GOですね^^ポチ

スモークマン  
No title

グーテンモルゲン ^^
解法1は...思いつかない...^^;
けど...鮮やかね...♪
といっても...まだ十分理解できてなかったり...

黒翼  
No title

三角比の解法は,計算が簡単そうですね.

問題を見たときに,三角比が使えそうだとは思いましたが,結局この解法には至りませんでした.

uch*n*an  
No title

確かにいろいろな解法があります。
私の場合は,[解答2~5]の(c)と[解答6]の最初は,
円外の一点から円への二つの接線の長さが等しい,という定理の使用と見れば,
同じ考え方と見なせるので,この定理と,
角の二等分線に関する定理,面積,三平方の定理,の四つのブレンドの仕方で,
幾つもの解法が可能だな,と思い,その中から適当に三つ,
三角関数で,[解答7]と,tan ではなく sin の二倍角の公式を使ったものとで,二つ,
合計五つの解法を示しました。ただ,残念ながら,[解答1]は思い付きませんでした。
確かに 45°が絡む直角の場合にはこういう手もありました。算数っぽくっていいですね。
なお,これ以外にありそうな解法としては,
I を通り AB に平行な線を引き相似を使って AB + BC = 4AC を出すとか,
座標を使う,とかもありますね。

ヤドカリ  
No title

アキチャンさん、早速のコメントとポチを有難う御座います。
この写真の百日紅のバックの空が気に入っています。

ヤドカリ  
No title

いっちゃん、早速のコメントとポチを有難う御座います。
555は偶然です。大体その頃までに記事をUPしたいです。

ヤドカリ  
No title

crazy_tomboさん、早速のコメントを有難う御座います。
この解法1が気に入っています。

ヤドカリ  
No title

黒翼さん、コメントを有難う御座います。
三角比には多くの公式があって、どの公式を使うといちばん楽かを考えると、
いろいろ楽しめます。

ヤドカリ  
No title

uch*n*anさん、コメントを有難う御座います。
私は三平方も内接円の半径と面積の関係も使わない[解答1]が気に入っています。
記号は別として内容は算数と思います。
ただ、(境界が曖昧ですが)算数で出来るような問題は中々思いつきません。

本問のような解法の多い問題は、楽しめますが、解答を見たり書いたりするのは大変です。

こっこちゃん  
No title

このサルスベリ

3角系ですよね ポチッ

ヤドカリ  
No title

こっこちゃんさん、コメントとポチを有難う御座います。
何となく色が気に入って撮りました。
形までは気にしていませんでしたが三角形ですね。

古い人  
No title

此の百日紅目の覚めるような。

綺麗な花ですね。 ポチ。

ヤドカリ  
No title

古い人さん、こちらにもコメントとポチを有難う御座います。
この写真は百日紅とともにバックの青い空と白い雲、偶然ですが、
撮った後で気に入っています。