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[答179] 対称式の値

ヤドカリ

ヤドカリ


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[答179] 対称式の値


 a+b+c=5, bc+ca+ab=8, abc=3 のとき、 b3c3+c3a3+a3b3=?



[解答1]

 x3+y3+z3

  =(x+y+z)(x2+y2+z2-yz-zx-xy)+3xyz

  =(x+y+z)3-3(x+y+z)(yz+zx+xy)+3xyz を利用し、

 b3c3+c3a3+a3b3

  =(bc+ca+ab)3-3(bc+ca+ab)(abc)(a+b+c)+3(abc)2

  =83-3・8・3・5+3・32=179 。


[解答2]

 1/a=p,1/b=q,1/c=r とおくと、

 p+q+r=(bc+ca+ab)/(abc)=8/3,qr+rp+pq=(a+b+c)/(abc)=5/3,pqr=1/(abc)=1/3 だから、

 p3+q3+r3

  =(p+q+r)3-3(p+q+r)(qr+rp+pq)+3pqr

  =(8/3)3-3(8/3)(5/3)+3(1/3)=179/27 、

 b3c3+c3a3+a3b3

  =(abc)3(1/a3+1/b3+1/c3)

  =(abc)3(p3+q3+r3)

  =33・179/27=179 です。


[解答3]

 f(n)=an+bn+cn とおくと、f(0)=3,f(1)=5,

 f(2)=(a+b+c)2-2(bc+ca+ab)=52-2・8=9 です。

 条件より、a,b,c は x3-5x2+8x-3=0 、x3=5x2-8x+3 の

 解になるから、a3=5a2-8a+3 、an+3=5an+2-8an+1+3an

 同様に、bn+3=5bn+2-8bn+1+3bn 、cn+3=5cn+2-8cn+1+3cn

 従って、f(n+3)=5・f(n+2)-8・f(n+1)+5・f(n) になります。

 f(3)=5・f(2)-8・f(1)+3・f(0)=5・9-8・5+3・3=14 、
 f(4)=5・f(3)-8・f(2)+3・f(1)=5・14-8・9+3・5=13 、
 f(5)=5・f(4)-8・f(3)+3・f(2)=5・13-8・14+3・9=-20 、
 f(6)=5・f(5)-8・f(4)+3・f(3)=5・(-20)-8・13+3・14=-162 、

 b3c3+c3a3+a3b3

 ={f(3)2-f(6)}/2={142-(-162)}/2=179 です。

☆ この方法は根気よく続ければ何乗でも求められます。


[解答4]

 条件より、a,b,c は x3-5x2+8x-3=0 の解になるから、

 a3-5a2+8a-3=0 、a3-3=5a2-8a 、

 3乗して、

 a9-9a6+27a3-27=125a6-600a5+960a4-512a3

 a9-134a6+539a3-27=-120a3(5a2-8a) 、

 a9-134a6+539a3-27=-120a3(a3-3) 、

 a9-14a6+179a3-27=0 、

 これは、a3 が、x3-14x2+179x-27=0 の解であることを表します。

 同様に、b3, c3 も、この3次方程式の解になるから、

 b3c3+c3a3+a3b3=179 です。

☆ a3+b3+c3=14 になります。

 a3b3c3=27 は当然ですね。

.

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Comments 17

There are no comments yet.
黒翼  
No title

解答1,2はすぐ分かったのですが…

また帰ってから読み直したいと思います.

アキチャン  
No title

おはようございます。
ホテイアオイ・・・好きなお花です♪
金魚がいた頃、池に毎年咲いていたのを思い出します (o^-^o)

いっちゃん  
No title

以前、公園でたくさん花が咲いてて優しい色に癒されたことがあります。
水質浄化作用があるから池にはもってこいですね。ポチ

uch*n*an  
No title

これもいろいろな解法のできる問題です。
私は三つの解法を示しましたが,(解法1)は[解答1]と同じ,
(解法2),(解法3)は他と似たり寄ったりですが着眼点が微妙に違うので,
ご参考までに書いておきます。

uch*n*an  
No title

(解法2) 解と係数の関係を使う その1
a,b,c は,解と係数の関係より,次の三次方程式の解です。
t^3 - 5t^2 + 8t - 3 = 0,(1/t)^3 = (8(1/t)^2 - 5(1/t) + 1)/3
そこで,
与式
= (abc)^3 * ((1/a)^3 + (1/b)^3 + (1/c)^3)
= (abc)^3 * (8((1/a)^2 + (1/b)^2 + (1/c)^2) - 5(1/a + 1/b + 1/c) + 1 * 3)/3
= (abc)^3 * (8((bc + bc + ca)^2 - 2abc(a + b + c))/(abc)^2 - 5(bc + ca + ab)/abc + 3)/3
= 3^3 * (8 * (8^2 - 2 * 3 * 5)/3^2 - 5 * 8/3 + 3)/3
= 8 * 34 - 5 * 8 * 3 + 3^3 = 299 - 120
= 179

uch*n*an  
No title

(解法3) 解と係数の関係を使う その2
bc + ca + ab = 8
bc * ca + ca * ab + ab * bc = abc(a + b + c) = 3 * 5 = 15
bc * ca * ab = (abc)^2 = 3^2 = 9
より,bc,ca,ab は,解と係数の関係より,次の三次方程式の解です。
t^3 - 8t^2 + 15t - 9 = 0,t^3 = 8t^2 - 15t + 9
そこで,
与式
= (bc)^3 + (ca)^3 + (ab)^3
= 8((bc)^2 + (ca)^2 + (ab)^2) - 15(bc + ca + ab) + 9 * 3
= 8((bc + bc + ca)^2 - 2(bc * ca + ca * ab + ab * bc)) - 15(bc + ca + ab) + 27
= 8 * (8^2 - 2 * 15) - 15 * 8 + 27 = 8 * 34 - 93 = 272 - 93
= 179

uch*n*an  
No title

これ以外に,母関数を用いて級数展開し係数を比較する,という解法も考えられますが,
道具立てが大げさで面倒な割には,この問題では益が少ないので,省略します。

古い人  
No title

ホテイアオイ綺麗に咲いていますね。

メダカや金魚の池には欠かせないですね。

此花も池一面に咲くととても綺麗ですね。 ポチ。

ヤドカリ  
No title

黒翼さん、早速のコメントを有難う御座います。
[解答3][解答4]はこんな解き方もありますという紹介です。
求める式によっては威力を発揮します。

ヤドカリ  
No title

アキチャンさん、早速のコメントとポチを有難う御座います。
水質の浄化と美しい花でホテイアオイはいいですね。

ヤドカリ  
No title

いっちゃんさん、早速のコメントとポチを有難う御座います。
奈良だったかなぁ、
休耕田で多くのホテイアオイを育てている人がTVで紹介されていました。
ジャンボタニシに膨らんでいる部分を食われる被害ががひどいそうです。

ヤドカリ  
No title

uch*n*anさん、別解を有難う御座います。
本当にいろいろな解法のある問題で、
日を改めて解くと、違う解法が出てくるかも知れません。

ヤドカリ  
No title

古い人さん、コメントとポチを有難う御座います。
一面に咲いているのはTVでしか見たことがありません。
見事でした。

ニリンソウ  
No title

ホテイアオイねぇ~見たい花です!
咲かせたい花です、今年も見れませんでした。
ポチ。

ヤドカリ  
No title

ニリンソウさん、コメントとポチを有難う御座います。
いろんな花を見られているニリンソウさんが今年見ていないとは思いませんでした。

いっちゃん  
No title

ジャンボタニシの好物はホテイアオイなんですか?
稲も食べるのにふとどきな。。。笑

ヤドカリ  
No title

いっちゃん、コメントを有難う御座います。
食用に人間が持ち込んだもののようです。非は人間にあるようです。