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[答180] 正四角錐の表面積

ヤドカリ

ヤドカリ



[答180] 正四角錐の表面積


 1辺の長さが 15 の正方形から底辺が 15 の二等辺三角形を4個を取り除いて展開図を作ります。

 この展開図を組み立てて出来る正四角錐の体積が最大になるときの、表面積は?


[解答1]

 右図のように、AO=a とすると、a=15/(√2) です。

 また、底面の正方形の1辺を 2x とすると、側面(二等辺三角形)の高さは a-x だから

 正四角錐の高さは、√{(a-x)2-x2}=√{a(a-2x)}、

 正四角錐の体積をVとすれば、

 V=(1/3)(2x)2√{a(a-2x)}

  =(4/3)x2√{a(a-2x)}

  =(4/3)√{ax4(2a-4x)/2}

 ここで、相加・相乗平均の関係より、

  5√{x4(2a-4x)}≦{x+x+x+x+(2a-4x)}/5 だから、

  x4(2a-4x)≦(2a/5)5 になります。

  ( V≦(4/3)√{a(2a/5)5/2}=16a3/(75√5)=36√10 )

 Vが最大になるのは、x=2a-4x すなわち x=2a/5 のときで、

 PO/QO=(√2)x/{a/(√2)}=2x/a=4a/5/a=4/5、

 これが、四角形APBO/△ABO であり、四角錐の表面積/もとの正方形の面積 であるから、

 四角錐の表面積=152・4/5=180 になります。


[解答2]

 [解答1]と同様に設定すると、

 V=(4/3)x2√{a(a-2x)} (0<x<a/2)

 V2=(16a/9)x4(a-2x)=(16a/9)(ax4-2x5)

 xで微分すると、

 2VV'=(16a/9)(4ax3-10x4)

 V'=(16a/9)x3(2a-5x)/V

 よって、0<x<2a/5 のとき V'>0 、 2a/5<x<a/2 のとき V'<0

 Vが最大になるのは、x=2a/5 のときです。

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Comments 17

There are no comments yet.
ヤドカリ  
No title

問題を解くのに5つの数の相加・相乗平均を初めて使いました。

アキチャン  
No title

おはようございます。
白いキキョウ、また咲き出しましたね (o^-^o)
問題の形・・・似てますね(笑) ポチ♪

黒翼  
No title

相加・相乗平均の性質を見事に利用した解法ですね.

x=2a-4xとなるときに,相加平均=相乗平均となって,Vも最大になるということですね.

もし,微分で解けば,増減表をかいたり,繁雑な計算を強いられることもあるので,こちらの方がミスも少なく安全そうですね.

こっこちゃん  
No title

白い キキヨウ 清楚で美しいですね”

問題が解けないのが 残念ですが。。 ポチッ

古い人  
No title

白桔梗夏ごろから咲いてますが清潔間が有り。

とても綺麗ですね、規則正しい五角形がいいね。 ポチ。

uch*n*an  
No title

微分を使った標準的な解法は示されないのですか?
解法の一般性という意味では,微分の方が優れていると思いますが。
面倒なのでやめたのかな (^^?

ニリンソウ  
No title

今日は白いキキョウ、花見に来るのが楽しみになりましたよ。
↑の方とおなじで 五角形にポチです。

ヤドカリ  
No title

アキチャンさん、早速のコメントとポチを有難う御座います。
問題の形と似ているのは私も記事にしたときに感じました。
同じような見方をされたことに驚きました。

ヤドカリ  
No title

黒翼さん、早速のコメントを有難う御座います。
ご指摘の箇所は私のタイプミスで早速訂正しました。
なるべく完璧にと思って解答を作成していますが、たまには失敗します。
何かありましたらまたコメント下さい。

ヤドカリ  
No title

こっこちゃんさん、早速のコメントとポチを有難う御座います。
アポイキキョウという種類のようです。
私も白は清楚だと感じました。

ヤドカリ  
No title

古い人さん、早速のコメントとポチを有難う御座います。
私も白色と規則正しい形が気に入りました。

ヤドカリ  
No title

uch*n*anさん、コメントを有難うございます。
> 面倒なのでやめたのかな (^^?
は、その通りです。
遅ればせながら、先程、微分による方法を追加しました。

面倒な理由は、
* 増減表を文字と線で入れようとすると縦がずれてしまう.
* 増減表を図にして途中に入れようとすると Wiki 文法を使う必要がある.
* Wiki 文法を使うと累乗が表せない(少なくとも私は知らない)
* 解答全体を図(fig)にするのはその図の作成がかなり面倒.
* 解答全体を図にすると訂正するとき図自体を変更することになり、かなり面倒.
等です。
と、いうことで、表を使わない説明になりました。
なお、行列の出題をしないのも、縦に揃える必要があるからです。

ヤドカリ  
No title

ニリンソウさん、コメントとポチを有難う御座います。
五角形って不思議な形ですね。
五稜郭やペンタゴンもやはり不思議な形です。
黄金比も正五角形にあります。
それを植物はいとも簡単に作っているのも不思議です。

いっちゃん  
No title

こんばんは。
白いキキョウもきれいです。
アングルがとてもよいと思いました^^
ポチ

スモークマン  
No title

グーテンアーベント ^^
解法1は...気付けないなぁ...^^;
しかも...

>PO/QO=(√2)x/{a/(√2)}=2x/a=4a/5/a=4/5、
これが、四角形APBO/△ABO であり、四角錐の表面積/もとの正方形の面積 である...

の部分も Aha!! だったわたし...♪

ヤドカリ  
No title

いっちゃん、コメントとポチを有難う御座います。
何枚か撮ったのですが、ぱっと見、この写真が気に入りました。
アングルについてはあまり考えずに撮っています。
偶然、いっちゃん好みのアングルだったのですね。

ヤドカリ  
No title

crazy_tomboさん、コメントを有難う御座います。
> の部分も Aha!! だったわたし...♪
脳にいい影響を与えたようで嬉しいです。