[答17] 比を求める
[答17] 比を求める
図で、AR/RB=3/2, AQ/QC=4/3 のとき、AS/SP=?
[解答]
△ABPと直線CRでメネラウスの定理より、
(AS/SP)(PC/CB)(BR/RA)=1 よって、(AS/SP)(PC/CB)=AR/RB
△APCと直線BQでメネラウスの定理より、
(AS/SP)(PB/BC)(CQ/QA)=1 よって、(AS/SP)(PB/BC)=AQ/QC
加えると、(AS/SP)((PB+PC)/BC)=AR/RB+AQ/QC
AS/SP=AR/RB+AQ/QC=3/2+4/3=17/6
★ AS/SP=AR/RB+AQ/QC とそのまま分数の和で表されます。
見つけた時は嬉しかったのですが、多分、
ど~こかで~ だ~れかが、きっと既に見つけているはずです。
[追記] 吊り合いで考えることもできます。
AR:RB=3:2 だから、Rを支点にしてA,Bに2:3の重りをつけると吊り合います。
AQ:QC=4:3 だから、Qを支点にしてA,Cに3:4の重りをつけると吊り合います。
両方を満たすように、A,B,Cに 6:9:8 の重りをつけます。
B,Cの重りをPで吊り合せるには、BP:PC=8:9 です。
(チェバの定理 (AR/RB)(BP/PC)(CQ/QA)=1 からも BP/PC=8/9 です)
B,Cの重りをPに集めて、Sで A,Pの重りをSで吊り合せるには、AS:SP=17:6 です。
また、重りの比 6:9:8 は、△PBC:△PCA:△PAB の面積比にもなります。
不思議でしょ!?