[答17] 比を求める

[答17] 比を求める


図で、AR/RB＝3/2, AQ/QC＝4/3 のとき、AS/SP＝？



[解答]

△ABPと直線CRでメネラウスの定理より、

(AS/SP)(PC/CB)(BR/RA)＝1 よって、(AS/SP)(PC/CB)＝AR/RB

△APCと直線BQでメネラウスの定理より、

(AS/SP)(PB/BC)(CQ/QA)＝1 よって、(AS/SP)(PB/BC)＝AQ/QC

加えると、(AS/SP)((PB＋PC)/BC)＝AR/RB＋AQ/QC

AS/SP＝AR/RB＋AQ/QC＝3/2＋4/3＝17/6

★ AS/SP＝AR/RB＋AQ/QC とそのまま分数の和で表されます。

　見つけた時は嬉しかったのですが、多分、

　ど～こかで～ だ～れかが、きっと既に見つけているはずです。


[追記] 吊り合いで考えることもできます。

AR：RB＝3：2 だから、Rを支点にしてA,Bに2：3の重りをつけると吊り合います。

AQ：QC＝4：3 だから、Qを支点にしてA,Cに3：4の重りをつけると吊り合います。

両方を満たすように、A,B,Cに 6：9：8 の重りをつけます。

B,Cの重りをPで吊り合せるには、BP：PC＝8：9 です。

（チェバの定理 (AR/RB)(BP/PC)(CQ/QA)＝1 からも BP/PC＝8/9 です）

B,Cの重りをPに集めて、Sで A,Pの重りをSで吊り合せるには、AS：SP＝17：6 です。

また、重りの比 6：9：8 は、△PBC：△PCA：△PAB の面積比にもなります。

不思議でしょ！？