FC2ブログ

Welcome to my blog

[答181] 相加平均・相乗平均の差

ヤドカリ

ヤドカリ


'


[答181] 相加平均・相乗平均の差


 10000未満の2つの自然数a,bがあって、その相加平均と相乗平均の差は 32 です。

 このような組(a,b)は何組? また、aが最小のときの(a,b)=?



[解答]

 (a+b)/2-√(ab)=32 より、a+b-2√(ab)=64 、(√b-√a)2=64 、|√b-√a|=8 になります。

 √b-√a=±8 、√b=√a±8 、2乗して、b=a±16√a+64 、

  ±√a=(b-a)/16-4 は有理数だから、√a は自然数で、√b=√a±8 も整数(自然数)になります。

  0<a<10000,0<b<10000 より、0<√a<100,0<√b<100 となって、

  (√a,√b)=(1,9),(2,10),(3,11),……,(91,99),

          (9,1),(10,2),(11,3),……,(99,91) の、182組あります。

 aが最小のものは、(√a,√b)=(1,9) 、すなわち、(a,b)=(1,81) です。


[参考1]

 nが自然数のとき √n が有理数であれば自然数です。理由は、

 √n が有理数であれば、互いに素な自然数p,qを用いて、√n=p/q と表されます。

 2乗して、n=p2/q2 、左辺は自然数で右辺は約分できないから、

 q2=1、q=1、従って、√n=p になります。

 言い換えると、nが自然数のとき √n は自然数でなければ無理数です。


[参考2] uch*n*anさんのコメントを参考に

 一般化して、相加平均と相乗平均の差がnのとき、

 |√b-√a|=√(2n) 、√b=√a±√(2n) 、2乗して、b=a±2√(2na)+2n 、

 ±√(2na)=(b-a)/2-n は有理数だから、√(2na) は自然数です。

 自然数mと、平方因子を含まない自然数kを使って、2n=m2k と表せば、

 aは自然数cを使って a=c2k と表せて、

 √b=c√k±m√k すなわち、c±m>0 で b=(c±m)2k になります。

.

スポンサーサイト



Comments 9

There are no comments yet.
ヤドカリ  
No title

花の写真は、先月上旬に宮崎県で撮ったものです。
写真が何枚かありますので、当分の間、その頃の写真を使います。

アキチャン  
No title

おはようございます。
カンナのお花はもう、終わりの頃ですよね。。
綺麗な頃のお花が また見れました (o^-^o) ポチ♪

古い人  
No title

カンナ熱帯地方原産だけあり今年の夏も物ともしないで咲いてますね

故郷を思いだして生き生き咲いてますね。 ポチ。

黒翼  
No title

一般化の式は参考になりますね.

a<bの場合に気付かずに一度引っかかってしまいました.
気をつけなければいけません.

ヤドカリ  
No title

アキチャンさん、早速のコメントとポチを有難う御座います。
朝から浜寺公園に出掛けましたが、まだまだカンナは力強く咲いておりました。
一方で、萩や彼岸花も咲いており、夏と秋の混在を感じました。

ヤドカリ  
No title

古い人さん、早速のコメントとポチを有難う御座います。
カンナは本当に暑さに強いですね。バテていた私とは違います。

ヤドカリ  
No title

黒翼さん、早速のコメントを有難う御座います。
aとbに条件に違いはありませんので、逆にしても成り立つことを、
最初から感覚として頭に残しておかなければなりません。
引っかけるつもりはなかったのですが、何人かが引っ掛かりました。

いっちゃん  
No title

こんばんは。
鮮やかなカンナの花がまぶしいです^^ポチ

ヤドカリ  
No title

いっちゃん、コメントとポチを有難う御座います。
この花はどうか知りませんが、カンナは今でも咲いています。
花期が長い花です。