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[答183] 球を切断したときの体積

ヤドカリ

ヤドカリ



[答183] 球を切断したときの体積


 1辺の長さが4の球を中心からの距離が1である平面で切断してできる2つの立体のうち、

 大きいほうの立体の体積は?



[円錐の体積]

 底面の半径がr,高さがhの円錐の体積Vは、V=πr2h/3 になることを示します。

 1辺の長さがhの立方体を3等分してできる四角錐と円錐を並べます。

 この四角錐の底面の1辺がhの正方形、

 側面の2つが h,h,h√2,あと2つが h,h√2,h√3 の三角形です。

 底面からの距離が等しい平面で切断すると、切り口の面積比はどこも h2:πr2

 カバリエリの原理によると、高さが等しいとき、体積比も切り口の面積比になり、

 h3/3:V=h2:πr2 、よって、V=πr2h/3 になります。


[半球の体積]

 半径がrの半球の体積Vは、V=2πr3/3 になることを示します。

 底面の半径がrで高さがrの円柱と円錐と半球を図のように並べます。

 下からaの距離にある面で切断し、半球の切り口の半径をbとすると、

 半球の切り口と円錐の切り口の面積の和は、

 πb2+πa2=π(b2+a2)=πr2

 だから、円柱の切り口の面積になります。

 カバリエリの原理によると、高さが等しいので、半球と円錐の体積の和も円柱の体積になり、

 V+πr3/3=πr3 、よって、V=2πr3/3 になります。


[解答1]

 半球の体積の場合と同様、

 体積を求める立体から半球を除いた立体の体積と底面の半径が1で高さが1の円錐の体積の和は、

 底面の半径が4で高さが1の円柱の体積になります。

 求める体積をVとすれば、

 V-2π・43/3+π・13/3=π・42・1 、V=175π/3 になります。


[解答2]

 いちばん下の図のように、体積を求める立体から半径4の半球と半径1の半球を除いて、

 下からaの距離で切った切り口の外側の円の半径をR,内側の円の半径をrとすると、

 切り口の面積は、πR2-πr2=π(R2-r2)

  =π(R2-a2-r2+a2)=π(42-12)=15π

 だから、

 体積を求める立体から半径4の半球と半径1の半球を除くと、

 底面積が 15πで高さが1の円柱と体積が等しくなります。

 求める体積をVとすれば、

 V-2π・43/3-2π・13/3=15π 、V=175π/3 になります。


[解答3]

 円 x2+y2=16 の -1≦x≦4 の部分をx軸の周りに回転して、

       4
 π(16-x2)dx=175π/3 になります。
       -1


☆ 一般に、半径rの球を中心からの距離がaの平面で切断すると、

 大きい方の体積は、π(r+a)2(2r-a)/3 、

 小さい方の体積は、π(r-a)2(2r+a)/3 、

 になります。

.

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Comments 18

There are no comments yet.
こっこちゃん  
No title

おはようございます。

今日の黄色い お花素敵ですが~~
名まえは 何だろう~ ポチッ

アキチャン  
No title

おはようございます。
かわいいお花ですネ (o^-^o) ポチ♪

ニリンソウ  
No title

おはようございます。
野辺に咲く宵待ち草ですか、早起きしたんですね。
夕方かな? ポチ!

uch*n*an  
No title

いろいろな解答及び解説をありがとうございます。勉強になります。

ヤドカリ  
No title

こっこちゃんさん、早速のコメントとポチを有難う御座います。
このマツヨイグサは、先月、小林市の国道221号わきで撮ったものです。

ヤドカリ  
No title

アキチャンさん、早速のコメントとポチを有難う御座います。
マツヨイグサに見えにくいアングルですが、団体で活き活き咲いておりました。

ヤドカリ  
No title

ニリンソウさん、早速のコメントとポチを有難う御座います。
国道傍に咲く宵待ち草でした。その頃は、早起きして散歩していました。

ヤドカリ  
No title

uch*n*anさん、コメントを有難う御座います。
円錐と半球の体積は記事にしたかったのですが、先に出題してしまいました。
カバリエリの原理は感覚的に分かるので、体積を積分で求める前にやっておきたいですね。

黒翼  
No title

いろいろな解法ありがとうございます.

おそらく僕の実力が足りないだけでしょうが,積分が一番やりやすい気がします.

えりママ  
No title

やっぱり難しい・・・
でも楽しいです♪

古い人  
No title

マツヨイ草暑かったのに。

元気に綺麗な花を咲かせていますね。 ポチ。

ヤドカリ  
No title

黒翼さん、コメントを有難う御座います。
この問題は積分で形式的に解けるのですが、積分に至る前段階を紹介する趣旨のでした。
考え方を楽しんで頂ければと思います。

ヤドカリ  
No title

えりママさん、お久しぶりです。コメントを有難う御座います。
少しでも楽しんで頂ければ幸いです。

ヤドカリ  
No title

古い人さん、コメントとポチを有難う御座います。
本当に暑さに負けない元気な花でした。

いっちゃん  
No title

「待てど暮らせど来ぬ人を・・・」
竹久夢二好きです。。
可愛い花はもちろん、大好き!!ポチ

ヤドカリ  
No title

いっちゃん、コメントとポチを有難う御座います。
「待てど暮らせど来ぬ人を・・・」って、いっちゃんは何時そんな気持ちになられたのですか?
マツヨイグサは、朝夕に灯りが点っているようです。

tsuyoshik1942  
No title

力不足、消化不良のまま通り過ぎますが、何かのときはここに舞い戻れるよう記憶にとどめおきたいと思います。

ヤドカリ  
No title

tsu*o*hi*194*さん、コメントを有難う御座います。
また、見に来て下さい。分かればナァ~ンダと思うかもしれません。