[答185] 自然数解の組数
'
[答185] 自然数解の組数
3x+2y+z=152 を満たす自然数の組( x,y,z )は何組?
[解答1]
2y+z=152-3x を満たすのは、y=1,2,3,……,[(151-3x)/2] の、[(151-3x)/2]組、
x=1,2,3,4,……,49,50 のとき、[(151-3x)/2]=74,72,71,69,……,2,0、
74+72+71+69+……+2+0=(74+0)・50/2=1850 組になります。
[解答2]
x=a,x+y=b,x+y+z=c とおくと、
a+b+c=152,a<b<c になり、この自然数解を求めることになります。
a<b<c の条件を除くと、151C2=11325 組。
2数が同じものは、順序を無視すれば、同じ2数は、1,2,3,……,75 の 75 組、
順序を考慮すると、75・3=225 組です。
3数が同じものはありません。
従って、
3数が異なるものは、順序を考慮すれば、11325-225=11100 組、
順序を無視すれば、11100/3!=1850 組になります。
[参考]
一般化すれば、次のいずれもが、[(n2-6n+12)/12] 組あります。
・ 3x+2y+z=n を満たす自然数の組( x,y,z )
・ a+b+c=n,a<b<c を満たす自然数の組( a,b,c )
[理由1]
a+b+c=n ,a<b<c を満たす自然数解の組数をNとします。
a<b<c の条件がなければ、n-1C2=(n-1)(n-2)/2 組あります。
そのうち、
a=b=c となるものをp組とすれば、nが3の倍数のとき p=1 、他の場合 p=0 です。
a=b≠c となるものをq組とすれば、
n-1 が偶数であれば、q=(n-1)/2-p ,n-1 が奇数であれば、q=(n-2)/2-p です。
すなわち、nが奇数のとき r=1 ,nが偶数のとき r=2 とすれば、
q=(n-r)/2-p になります。
従って、a,b,c のうちの2数だけが等しいのは、3q=3(n-r)/2-3p 組です。
a<b<c の場合は等しい数を含む場合を除いて、小さい順にa,b,c とすればよいから、
N={(n-1)(n-2)/2-p-3q}/3!={(n-1)(n-2)/2-p-3(n-r)/2+3p}/6
={(n-1)(n-2)/2-3(n-r)/2+2p}/6={(n-1)(n-2)-3(n-r)+4p}/12
=(n2-6n+2+4p+3r)/12
ここで、p=0,1 ,r=1,2 だから、 5≦2+4p+3r≦12 となって、
N=[(n2-6n+12)/12] と、まとめられます。
[理由2] uch*n*anさんのコメントより
a+b+c=n ,a<b<c を満たす自然数解の組数を f(n) とします。
a≧2 の場合は,(c-1)+(b-1)+(a-1)=n-3 より,f(n-3) 個
a=1 の場合は,c+b=n-1 で,c>b≧2 より,[(n-4)/2] 個
なので,
f(n)=f(n-3)+[(n-4)/2]
f(n)=f(n-6)+[(n-4)/2]+[(n-7)/2]=f(n-6)+(n-6)
ただし,n≧1 で,f(1)=f(2)=f(3)=f(4)=f(5)=0,f(6)=1 です。
これより,r=1, 2, 3, 4, 5, 6 として,(n-r が6の倍数になるようにrを決める)
f(n)=f(n-6)+(n-6)
f(n-6)=f(n-12)+(n-12)
………
f(12+r)=f(6+r)+(6+r)
f(6+r)=f(r)+r
f(n)=f(r)+(n-6)+(n-12)+……+(6+r)+r
=f(r)+(n-6+r)・(n-r)/6/2
={ n2-6n+(12・f(r)+6r-r2) }/12
がいえます。
そして,12・f(r)+6r-r2 は,5,8,9,8,5,12 となるので,
f(n)=[(n^2-6n+12)/12] 組,と書けます。
.