[答185] 自然数解の組数

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[答185] 自然数解の組数


　3x＋2y＋z＝152 を満たす自然数の組( x，y，z )は何組？



[解答1]

　2y＋z＝152－3x を満たすのは、y＝1，2，3，……，[(151－3x)/2] の、[(151－3x)/2]組、

　x＝1，2，3，4，……，49，50 のとき、[(151－3x)/2]＝74，72，71，69，……，2，0、

　74＋72＋71＋69＋……＋2＋0＝(74＋0)･50/2＝1850 組になります。

　
[解答2]

　x＝a，x＋y＝b，x＋y＋z＝c とおくと、

　a＋b＋c＝152，a＜b＜c になり、この自然数解を求めることになります。

　a＜b＜c の条件を除くと、₁₅₁Ｃ₂＝11325 組。

　２数が同じものは、順序を無視すれば、同じ２数は、1，2，3，……，75 の 75 組、

　順序を考慮すると、75･3＝225 組です。

　３数が同じものはありません。

　従って、

　３数が異なるものは、順序を考慮すれば、11325－225＝11100 組、

　順序を無視すれば、11100/3!＝1850 組になります。



[参考]

　一般化すれば、次のいずれもが、[(n²－6n＋12)/12] 組あります。

　・　3x＋2y＋z＝n を満たす自然数の組( x，y，z )

　・　a＋b＋c＝n，a＜b＜c を満たす自然数の組( a，b，c )


[理由1]

　a＋b＋c＝n ，a＜b＜c を満たす自然数解の組数をＮとします。

　a＜b＜c の条件がなければ、_n-1Ｃ₂＝(n－1)(n－2)/2 組あります。

　そのうち、

　a＝b＝c となるものをｐ組とすれば、ｎが３の倍数のとき p＝1 、他の場合 p＝0 です。

　a＝b≠c となるものをｑ組とすれば、

　 n－1 が偶数であれば、q＝(n－1)/2－p ，n－1 が奇数であれば、q＝(n－2)/2－p です。

　 すなわち、ｎが奇数のとき r＝1 ，ｎが偶数のとき r＝2 とすれば、

　 q＝(n－r)/2－p になります。

　従って、a，b，c のうちの２数だけが等しいのは、3q＝3(n－r)/2－3p 組です。

　a＜b＜c の場合は等しい数を含む場合を除いて、小さい順にa，b，c とすればよいから、

　N＝{(n－1)(n－2)/2－p－3q}/3!＝{(n－1)(n－2)/2－p－3(n－r)/2＋3p}/6

　 ＝{(n－1)(n－2)/2－3(n－r)/2＋2p}/6＝{(n－1)(n－2)－3(n－r)＋4p}/12

　 ＝(n²－6n＋2＋4p＋3r)/12

　ここで、p＝0，1 ，r＝1，2 だから、 5≦2＋4p＋3r≦12 となって、

　N＝[(n²－6n＋12)/12] と、まとめられます。


[理由2] uch*n*anさんのコメントより

　a＋b＋c＝n ，a＜b＜c を満たす自然数解の組数を f(n) とします。

　a≧2 の場合は，(c－1)＋(b－1)＋(a－1)＝n－3 より，f(n－3) 個

　a＝1 の場合は，c＋b＝n－1 で，c＞b≧2 より，[(n－4)/2] 個

　なので，

　f(n)＝f(n－3)＋[(n－4)/2]

　f(n)＝f(n－6)＋[(n－4)/2]＋[(n－7)/2]＝f(n－6)＋(n－6)

　ただし，n≧1 で，f(1)＝f(2)＝f(3)＝f(4)＝f(5)＝0，f(6)＝1 です。

　これより，r＝1, 2, 3, 4, 5, 6 として，(n－r が６の倍数になるようにｒを決める)

　f(n)＝f(n－6)＋(n－6)

　f(n－6)＝f(n－12)＋(n－12)

　 　………

　f(12＋r)＝f(6＋r)＋(6＋r)

　f(6＋r)＝f(r)＋r

　f(n)＝f(r)＋(n－6)＋(n－12)＋……＋(6＋r)＋r

　 　 ＝f(r)＋(n－6＋r)･(n－r)/6/2

　 　 ＝{ n²－6n＋(12･f(r)＋6r－r²) }/12

　がいえます。

　そして，12･f(r)＋6r－r² は，5，8，9，8，5，12 となるので，

　f(n)＝[(n^2－6n＋12)/12] 組，と書けます。

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