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[答185] 自然数解の組数

ヤドカリ

ヤドカリ


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[答185] 自然数解の組数


 3x+2y+z=152 を満たす自然数の組( x,y,z )は何組?



[解答1]

 2y+z=152-3x を満たすのは、y=1,2,3,……,[(151-3x)/2] の、[(151-3x)/2]組、

 x=1,2,3,4,……,49,50 のとき、[(151-3x)/2]=74,72,71,69,……,2,0、

 74+72+71+69+……+2+0=(74+0)・50/2=1850 組になります。

 
[解答2]

 x=a,x+y=b,x+y+z=c とおくと、

 a+b+c=152,a<b<c になり、この自然数解を求めることになります。

 a<b<c の条件を除くと、1512=11325 組。

 2数が同じものは、順序を無視すれば、同じ2数は、1,2,3,……,75 の 75 組、

 順序を考慮すると、75・3=225 組です。

 3数が同じものはありません。

 従って、

 3数が異なるものは、順序を考慮すれば、11325-225=11100 組、

 順序を無視すれば、11100/3!=1850 組になります。



[参考]

 一般化すれば、次のいずれもが、[(n2-6n+12)/12] 組あります。

 ・ 3x+2y+z=n を満たす自然数の組( x,y,z )

 ・ a+b+c=n,a<b<c を満たす自然数の組( a,b,c )


[理由1]

 a+b+c=n ,a<b<c を満たす自然数解の組数をNとします。

 a<b<c の条件がなければ、n-12=(n-1)(n-2)/2 組あります。

 そのうち、

 a=b=c となるものをp組とすれば、nが3の倍数のとき p=1 、他の場合 p=0 です。

 a=b≠c となるものをq組とすれば、

  n-1 が偶数であれば、q=(n-1)/2-p ,n-1 が奇数であれば、q=(n-2)/2-p です。

  すなわち、nが奇数のとき r=1 ,nが偶数のとき r=2 とすれば、

  q=(n-r)/2-p になります。

 従って、a,b,c のうちの2数だけが等しいのは、3q=3(n-r)/2-3p 組です。

 a<b<c の場合は等しい数を含む場合を除いて、小さい順にa,b,c とすればよいから、

 N={(n-1)(n-2)/2-p-3q}/3!={(n-1)(n-2)/2-p-3(n-r)/2+3p}/6

  ={(n-1)(n-2)/2-3(n-r)/2+2p}/6={(n-1)(n-2)-3(n-r)+4p}/12

  =(n2-6n+2+4p+3r)/12

 ここで、p=0,1 ,r=1,2 だから、 5≦2+4p+3r≦12 となって、

 N=[(n2-6n+12)/12] と、まとめられます。


[理由2] uch*n*anさんのコメントより

 a+b+c=n ,a<b<c を満たす自然数解の組数を f(n) とします。

 a≧2 の場合は,(c-1)+(b-1)+(a-1)=n-3 より,f(n-3) 個

 a=1 の場合は,c+b=n-1 で,c>b≧2 より,[(n-4)/2] 個

 なので,

 f(n)=f(n-3)+[(n-4)/2]

 f(n)=f(n-6)+[(n-4)/2]+[(n-7)/2]=f(n-6)+(n-6)

 ただし,n≧1 で,f(1)=f(2)=f(3)=f(4)=f(5)=0,f(6)=1 です。

 これより,r=1, 2, 3, 4, 5, 6 として,(n-r が6の倍数になるようにrを決める)

 f(n)=f(n-6)+(n-6)

 f(n-6)=f(n-12)+(n-12)

   ………

 f(12+r)=f(6+r)+(6+r)

 f(6+r)=f(r)+r

 f(n)=f(r)+(n-6)+(n-12)+……+(6+r)+r

    =f(r)+(n-6+r)・(n-r)/6/2

    ={ n2-6n+(12・f(r)+6r-r2) }/12

 がいえます。

 そして,12・f(r)+6r-r2 は,5,8,9,8,5,12 となるので,

 f(n)=[(n^2-6n+12)/12] 組,と書けます。

.

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Comments 14

There are no comments yet.
アキチャン  
No title

おはようございます。
ウチでも 秋になってからの方が いっぱい咲いています (o^-^o)
好きなお花です。レインリリー

ヤドカリ  
No title

アキチャンさん、早速のコメントとポチを有難う御座います。
この写真は先月に撮ったものですが、今もレインリリー、よく見ますね。

uch*n*an  
No title

一般化に関しては,[解答1]の方向の計算でも,単純なパターンの繰り返しで出せます。
ただし,ガウス記号 [ ] の処理が面倒なので,
n を 6 で割った余りで場合分けして計算するのがいいようです。
ご参考までに示します。

uch*n*an  
No title

・n = 6m
Σ(x=奇数){[(6m-3x)/2]} + Σ(x=偶数){[(6m-3x)/2]-1}
= Σ(k=1,m){3m+1-3k} + Σ(k=1,m-1){3m-1-3k}
= ((3m+1-3) + 1)/2 * m + ((3m-1-3) + 2)/2 * (m-1)
= 3m^2 - 3m + 1
・n = 6m+1
Σ(x=奇数){[((6m+1)-3x)/2]-1} + Σ(x=偶数){[((6m+1)-3x)/2]}
= Σ(k=1,m){3m+1-3k} + Σ(k=1,m-1){3m-3k}
= ((3m+1-3) + 1)/2 * m + ((3m-3) + 3)/2 * (m-1)
= 3m^2 - 2m

uch*n*an  
No title

・n = 6m+2
Σ(x=奇数){[((6m+2)-3x)/2]} + Σ(x=偶数){[((6m+2)-3x)/2]-1}
= Σ(k=1,m){3m+2-3k} + Σ(k=1,m-1){3m-3k}
= ((3m+2-3) + 2)/2 * m + ((3m-3) + 3)/2 * (m-1)
= 3m^2 - m
・n = 6m+3
Σ(x=奇数){[((6m+3)-3x)/2]-1} + Σ(x=偶数){[((6m+3)-3x)/2]}
= Σ(k=1,m){3m+2-3k} + Σ(k=1,m){3m+1-3k}
= ((3m+2-3) + m)/2 * m + ((3m+1-3) + 1)/2 * m
= 3m^2

uch*n*an  
No title

・n = 6m+4
Σ(x=奇数){[((6m+4)-3x)/2]} + Σ(x=偶数){[((6m+4)-3x)/2]-1}
= Σ(k=1,m){3m+3-3k} + Σ(k=1,m){3m+1-3k}
= ((3m+3-3) + 3)/2 * m + ((3m+1-3) + 1)/2 * m
= 3m^2 + m
・n = 6m+5
Σ(x=奇数){[((6m+5)-3x)/2]-1} + Σ(x=偶数){[((6n+5)-3x)/2]}
= Σ(k=1,m){3m+3-3k} + Σ(k=1,m){3m+2-3k}
= ((3m+3-3) + 3)/2 * m + ((3m+2-3) + 2)/2 * m
= 3m^2 + 2m

uch*n*an  
No title

つまり,まとめると,
・n = 6m
3m^2 - 3m + 1
。n = 6m+1
3m^2 - 2m
・n = 6m+2
3m^2 - m
・n = 6m+3
3m^2
・n = 6m+4
3m^2 + m
・n = 6m+5
3m^2 + 2m
これらは,n = 6m の場合で m = n/6 として,後はガウス記号でうまく調整すると,
[(3n^2 - 18n + 36)/36] = [(n^2 - 6n + 12)/12]
と書けます。

ヤドカリ  
No title

uch*n*anさん、詳しい説明を有難う御座います。
nが偶数・奇数で場合分けして、3で割った余りでも場合分けして組み合わせるより、
最初から6で割った余りで場合分けする方がスッキリします。
それは分かっていても、実際に計算するのは面倒で長くなるので、言及しませんでした。
それを承知で計算された貴殿に敬意を表します。

ニリンソウ  
No title

可愛いですね~優しい色です。
レインリリーというんですねうちでも似た花が咲きます。

ヤドカリ  
No title

ニリンソウさん、コメントとポチを有難う御座います。
園芸種はちょっとの違いの多くの種類があったり、全然違う同種の花があったりで、
難しいです。

いっちゃん  
No title

こんばんは~^^
私は「たますだれ」と呼んでいました。でもレインリリー
って云い方が可愛くてすてきだと思いました。
白いのはよく見かけますね。。
ポチ

ヤドカリ  
No title

いっちゃん、コメントとポチを有難う御座います。
タマスダレ(玉簾)、ゼフィランサス・カンディダ、レインリリー
と、云うようです。
ヒガンバナ科の毒草だそうですが、綺麗です。

古い人  
No title

可愛くて綺麗な花ですね。

レインリリーと言うのですかヒガンバナ科の植物は。

球根に毒が含まれているのが多いですね。

でも足の肉ばなれなどの時此の球根。

をスリ熱撮りに使いましたよ。 ポチ。

ヤドカリ  
No title

古い人さん、コメントとポチを有難う御座います。
コメントを拝見して「毒にも薬にもなる」という言葉を思い出しました。
まさにその通りの植物なのですね。