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[答193] 正三角形と半円

ヤドカリ

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[答193] 正三角形と半円


 図において、△ABCは正三角形で、弧BQCはをBCを直径とする半円です。

 BP:PC=187:6 のとき、AQ:QP=?



[解答1]

 左下図のように、BP=2a, PC=2b とすれば、半円の半径は a+b で、

 A(0,(a+b)√3),B(-a-b,0),C(a+b,0),P(a-b,0) とします。

 直線APは、x/(a-b)+y/{(a+b)√3}=1、 (a-b)y=(√3)(a+b)(a-b-x)。

 半円は、x2+y2=(a+b)2

  (a-b)2x2+(a-b)2y2=(a-b)2(a+b)2

 直線の式と半円の式より、

 (a-b)2x2+3(a+b)2(a-b-x)2=(a-b)2(a+b)2

 簡単にすると、

 2(a2+ab+b2)x2-3(a+b)2(a-b)x+(a+b)2(a-b)2=0、

 この方程式の解xの1つが Qのx座標になります。解きやすくするために、

 2(a2+ab+b2)-3(a+b)2(a-b)/x+(a+b)2(a-b)2/x2=0、

 として、(a+b)(a-b)/x=t とすると、

 t2-3(a+b)t+2(a2+ab+b2)=0、

 解の公式により、2t=3(a+b)±√(a2+10ab+b2)、

 ここで、

 AQ:AP=x:(a-b)=1:(a-b)/x=2(a+b):2(a+b)(a-b)/x=2(a+b):2t

  =2(a+b):{3(a+b)±√(a2+10ab+b2)}、

 AQ:QP=AQ:(AP-AQ)=2(a+b):{a+b±√(a2+10ab+b2)}、

 a+b-√(a2+10ab+b2)<0 だから、 

 AQ:QP=2(a+b):{a+b+√(a2+10ab+b2)} になります。

 a=187,b=6 として、

  AQ:QP=2・193:(193+√46225)=2・193:(193+215)=193:204 です。


[解答2]

 右下図のように、BP=2a, PC=2b とすれば、円の半径は a+b です。

 また、AQ=q, QP=qt, PR=p とします。

 三平方の定理より、AP2=AO2+OP2

  (q+qt)2={(a+b)√3}2+(a-b)2

  q2(1+t)2=4(a2+ab+b2) 。

 方べきの定理より、PR・PQ=PB・PC、よって、pqt=4ab 。

 方べきの定理より、AQ・AR=AC・AS、よって、q(q+qt+p)=2(a+b)2

 q2(1+t)+pq=2(a+b)2

 q2(1+t)2t+pqt(1+t)=2(a+b)2t(1+t) 、

 4(a2+ab+b2)t+4ab(1+t)=2(a+b)2t(1+t) 、

 (a+b)2t2-(a+b)2t-2ab=0 、

 (a+b)t の2次方程式として、解の公式で解くと、正の解は、

 (a+b)t={a+b+√((a+b)2+8ab)}/2={a+b+√(a2+10ab+b2)}/2 、

 t=QP/AQ={a+b+√(a2+10ab+b2)}/{2(a+b)} 、

 AQ:QP=2(a+b):{a+b+√(a2+10ab+b2)} になります。

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Comments 7

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アキチャン  
No title

おはようございます。
葛かしら?似たお花ですネ (o^-^o)
今朝はこちら、少し肌寒いです。。。ぽち

いっちゃん  
No title

おはようございます。これがくず粉になる葛ですか?
秋の七草のひとつですね♪
やどかりさんはお酒召し上がりますか?
花は二日酔いに効くそうですよ。お試しください。笑ポチ

古い人  
No title

葛の花に好く似ていますね。

小さな時これの根っこを掘って学校で集めていたのを思いだしました

何に使った記憶はありませんが薩摩芋を長くしたようなねっこでした

今思えば食料難の時期でんぷん造りに利用したのかなと思います。

古い話ですね笑。 ポチ。

ヤドカリ  
No title

アキチャンさん、早速のコメントとポチを有難う御座います。
はい、葛です。葉が蔓延って撮りにくいです。

ヤドカリ  
No title

鍵コメ様、ご指摘を有難う御座いました。
書庫を間違えてしまいました。

ヤドカリ  
No title

いっちゃん、早速のコメントとポチを有難う御座います。
花が二日酔いに効くって知りませんでした。
私は飲みませんので、必要ありませんが、
この蔓延った葛を引きぬいて処分していれば、酔いも覚めそうですね。

ヤドカリ  
No title

古い人さん、コメントとポチを有難う御座います。
私は葉をちぎって手の上でたたいて音を出して遊びました。
流石に食糧難の対策として使われたのは存じません。